弧長

在研究曲線時，我們總引進弧長作為參數，一方面是由於曲線的一般參數 t 不具有任何幾何意義，另一方面，因為弧長是曲線的剛體運動不變量，用弧長作參數，可大大簡化公式，並較容易導出其他不變量。 ^[1] 

設

為連續曲線(如圖1)。它的端點分別為A，B，在A，B之間任取n-1個點：P₁，P₂，…P_n-1。為方便計，把A寫成P₀，把B寫成P_n。它們將Γ分成n段。設各點對應的參數依次為a=t₀，t₁，t₂，…，t_n-1，t_n=b。用直線段連結相鄰的點，得到一折線形，它的長：

當分點無限增加時，若σ_n趨於一個與分點的選擇無關的確定極限，則稱此極限為曲線段AB的弧長。

曲線

有長度的充要條件是其座標函數

為有界變差函數。特別，微分幾何中考慮的

類曲線(k≥1)都有長度。曲線Γ在[t₀，t]之間的長度可用公式：

表示。弧長稱為曲線的自然參數。

在取自然參數時，曲線的方程：

此時，有

(

表示對弧長s的導矢)，反之，若

，則t可視為曲線從某點量起的弧長參數。 ^[1] 

下面我們用微分元素法計算曲線的長度。 ^[2] 

設平面曲線C的參數表示為

其中

與

連續可導，且

，這樣的稱為光滑曲線，如圖2.

顯然這時曲線的長度L對於區間

可加．且對任意的

與小區間

相應的弧長

故由微分元素法可知曲線總長為

同樣，對於空間光滑曲線

曲線總長為

若平面光滑曲線C被表達成了直角座標形式

則C也有參數表示

故由公式(1)可知這時

例1 證明：圓

的周長是

。 ^[2] 

證明: 由對稱性可知所求周長是第一象限部分長度的4倍，在第一象限中圓的參數方程是

故由公式(1)得圓的周長

半徑為R的圓中，n°的圓心角所對弧長

的計算公式為