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簡單多面體
鎖定
簡單多面體(simple polyhedron)是一種表面經過連續變形，可變形為球面的多面體，因此，簡單多面體與球面同胚，凸多面體是簡單多面體，但簡單多面體不一定是凸多面體。若多面體符合條件：①一切面都是簡單多邊形；②各稜之間、稜與面的內部都沒有公共點；③頂點不附着於各面的內部或各稜之上；④共有一個頂點的一切面角，圍拱着這個頂點構成一個多面角，則這樣的多面體叫做簡單多面體。
- 中文名
- 簡單多面體
- 外文名
- simple polyhedron
- 所屬領域
- 數學幾何學
- 相關概念
- 凸多面體、歐拉定理、稜柱等
- 定 義
- 一種表面經過連續變形，可變形為球面的多面體
簡單多面體定義
一個多面體，如果滿足下列條件，就叫做簡單多面體：
(1) 各面都是簡單多邊形；
(2) 多面體的稜彼此之間、稜與面的內部都沒有公共點；
(3) 多面體的各頂不附着於各面的內部或各稜之上；
(4) 多面體上共有一頂的一切面角，圍拱着這個頂只構成一個多面角。
對於多面體，如果它們經過拓撲變換可變為球面，那麼它們都是簡單多面體。
圖1
圖2
圖3
圖1是一個簡單多面體，圖2所示的多面體不是簡單多面體，因為它的一個頂點附着在多面體的一個面內。圖3所示多面體是由八個矩形和兩個凹八邊形組成的十面體，它也是個簡單多面體。
簡單多面體歐拉定理
簡單多面體的頂點數V，面數F，稜數E，恆有下面的關係式：
證明： 將簡單多面體的一個面去掉，設想它是橡皮膜上畫着的，這樣可以攤在平面上，成一平面圖形，這個過程中，頂點數V，稜數E均未改變，只是面數減少1記為F1。因此要證簡單多面體有V+F－E = 2，只要對相應的平面網絡證V+F1－E =1即可。
(1) 去掉一條稜，除去一個圈，因而減少一個面。頂點數不發生變化。所以V+F1－E的值不變,直到把所有的圈都除掉為止，網絡變成一棵樹。這時V+F1－E值仍保持不變。
(2) 從所剩的樹中去掉一個葉子，就減去一個頂點，減少一條邊，此時V+F1－E仍保持不變，到最後只剩下兩個頂點一條邊，V+F1－E仍保持不變，但此時V= 2，F1=0，E=1，V+F1－E=2+0-1=1。
所以：V+F－E =1+1= 2。
歐拉定理揭示了簡單多面體的頂點數、面數、稜數存在着的關係:V+F－E = 2。常數2是簡單多面體經過拓撲變換下的不變數。它是一個與通常的長度、角度、面積、體積等度量無關的數。
歐拉定理(或歐拉公式)是拓撲學中的一個重要公式，在初等幾何中對於討論凸多面體的頂數、稜數、面數的有關命題十分重要。
為了便於敍述，我們把簡單多面體的頂點數、面數、稜數分別記為V、F、E，其三面角、四面角、五面角...的頂點數依次記為V3，V4，V5，...其面上的三角形、四邊形、五邊形...的面數，依次記為F3，F4，F5，...。
顯然有:
命題1
命題2
命題3
證明：由於
為i 面角的頂數，
為從各個i 面角的頂點發出的稜數之和，而
為從各個頂點發出的稜數的總和，在
中，每條稜均從兩個頂點發出，因而每條稜都被計算了兩次，則
。
命題4
命題5
命題6 設一個簡單多面體的多面角都是三面角，則
。
命題7 在凸面體中，有
。
簡單多面體多面體的有關知識
圖4
2. 以柱、錐和特殊簡單多面體為載體的立體幾何綜合型問題研究既要運用線面關係的判定定理、性質定理，又要運用其基本性質。
簡單多面體多面體的有關概念
(1)多面體：由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體。
(2)凸多面體：把一個多面體的任何一個面伸展成平面，如果其餘各面都位於這個平面的同一側，這樣的多面體叫做凸多面體。
(3)正多面體：每個面都是有相同邊數的正多邊形，以每個頂點為端點都有相同稜數的凸多面體，叫做正多面體，正多面體只有五種。
