拓撲羣

拓撲羣G是拓撲空間和羣使得羣運算

和

是連續函數。這裏的G×G被看作使用乘積拓撲得到拓撲空間。

儘管我們這裏沒有做其他要求，很多作者要求在G上的拓撲是豪斯多夫空間。下面會討論其理由和一些等價條件。最後，這不是個嚴重的限制 — 很多拓撲羣都可以用規範方式變成豪斯多夫空間。

使用範疇論的語言，拓撲羣可以簡明的定義為在拓撲空間範疇內的羣對象，如同普通的羣是集合範疇的羣對象一樣。

在兩個拓撲羣G和H之間的同態就是連續羣同態G→H。拓撲羣的同構則要求同時是羣同構及對應拓撲空間的同胚。這比單純要求連續羣同構要更強，因其逆函數必須也是連續。有作為普通羣是同構的但作為拓撲羣卻不同構的例子。實際上，任何非離散的拓撲羣在用離散拓撲來考慮的時候也是（另一個）拓撲羣。底層的羣是一樣的（同構），但兩個拓撲羣並非同構。

拓撲羣和它們的同態一起形成一個範疇。

每個羣可以平凡地變成一個拓撲羣，這是通過給它一個離散拓撲達成地；這樣的羣稱為離散羣。在這個意義下，拓撲羣的理論包含了普通羣的理論。

實數R，以及加法操作和它的普通拓撲構成一個拓撲羣。更一般的，歐幾里得空間R連同加法和標準的拓撲構成拓撲羣。更一般的，所有拓撲向量空間（譬如巴拿赫空間和希爾伯特空間）的加法羣是拓撲羣。

上面的例子都是阿貝爾羣的例子。非交換羣的例子有各種李羣（是拓撲羣也是流形）。例如，一般線性羣GL(n,R)由所有可逆n×n實係數矩陣組成，可以視為拓撲羣，其拓撲定義為將GL(n,R)作為歐幾里得空間R的子空間得到的子空間拓撲。所有李羣是局部緊的。

不是李羣的拓撲羣的一個例子是有理數Q其拓撲從實數繼承。這是一個可數空間而它不是離散拓撲。對於一個非交換的例子，可以考慮R的旋轉羣由繞不同軸作2π的無理數倍的兩個旋轉所生成的子羣。

在每個帶乘法單位元的巴拿赫代數中，可逆元素的集合構成一個乘法下的拓撲羣。

拓撲羣的代數和拓撲結構以非平凡的方式互相影響。例如，在任何拓撲羣中單位分支（也就是包含單位的連通分支）是一個閉正規子羣。 ^[2] 

拓撲羣G上的逆運算給出了一個從G到其自身的同胚。同樣，若a是G的任意元素，則a的左乘和右乘產生G→G的一個同胚。

每個拓撲羣可以兩種方式視為一個一致空間；“左一致性”將所有左乘變成一個一致連續映射，而“右一致性”將所有右乘變為一致連續映射。若G非交換，則這兩個一致性並不相同。這個一致性結構使得在拓撲羣上討論完備性、一致連續、和一致收斂成為可能。

作為一個一致空間，每個拓撲羣是一個完全正則空間。因而，若一個拓撲羣是T₀（也就是柯爾莫果洛夫空間），則它也是T₂(也即豪斯多夫空間)。

兩個拓撲羣之間的最自然的同態概念是一個連續的羣同態。拓撲羣，和作為態射的連續羣同態一起，構成一個範疇。

每個拓撲羣的子羣本身也是一個拓撲羣，只要取子空間拓撲便可。若H是G的一個子羣，所有左或右陪集G/H是一個拓撲空間，只要取商拓撲便可（G/H上使得自然投影q:G→G/H連續的最細拓撲)。可以證明商映射q:G→G/H總是開映射。

若H是一個G的正規子羣，則因子羣，G/H成為一個拓撲羣，而從普通羣理論來的同構基本定理在這個範圍中也是成立的。但是，若H不是G的拓撲下的閉集，則G/H不是T₀的，即使G是。因此很自然可以要求限制到只考慮T₀拓撲羣的範疇，並且限制定義中的正規到正規且閉。

若H是G的子羣，則H的閉包也是一個子羣。同樣，若H是一個正規子羣，則H的閉包也是正規的。

對於調和分析有特殊重要性的是局部緊拓撲羣，因為它們承認一個自然的測度和積分的概念，由哈爾測度給出。在很多方面，局部緊拓撲羣是可數羣的一個推廣，而緊拓撲羣可以視為有限羣的一個推廣。羣表示理論對於有限羣和緊拓撲羣幾乎是完全一樣的。