特殊正交羣

特殊正交羣是一類元素行列式為1的重要的典型羣。正交羣O_n(K，Q)的元素的行列式都是1或-1，其中行列式為1的全體正交變換組成一個子羣，稱為特殊正交羣，記為SO_n(K，Q)。當K的特徵≠2時，

此時SO_n(K，Q)也稱為旋轉羣，並記為O_n(K，Q)。它也就是由偶數個對稱的乘積的全體組成的羣。實正交羣O(n)的旋轉羣記為SO(n)或O_n。當K的特徵=2時，SO_n(K，Q)=O_n(K，Q)。設Q無虧數，即：

是Q所定義的空間V上的非退化交錯型，n=2m為偶數，O_2m(K，Q)<Sp_2m(K，f)。取V的基e₁，e₂，…，e_2m使f(e_i，e_j)=1(當j=i±m)或0(當j≠i±m)。對任一A∈Sp_2m(K，f)，若：

則：

稱為A的迪克森不變量。當A∈O_2m(K，Q)時D(A)=0或1，滿足條件D(A)=0的全體正交變換A組成O_2m(K，Q)的一個指數為2的子羣，稱為旋轉羣，記為O_2m(K，Q).除n=4，K=F₂且Q的指數為2的情形外，旋轉羣O_n(K，Q)就是O_n(K，Q)中偶數個正交平延的乘積的全體組成的子羣。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G; ^[2] 

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

如果羣G的非空子集合H對於G的運算也成一個羣，那麼H稱為G的子羣。

子羣是羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G。若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元羣G至少有兩個子羣，G自身以及由單位元e作成的單位元羣{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子羣。不是平凡子羣的子羣稱為非平凡子羣。羣G的非空子集H為G的子羣的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子羣。

典型羣是一類重要的羣。一般線性羣、酉羣、辛羣、正交羣，以及它們的換位子羣、對中心的商羣等統稱為典型羣。實數域和複數域上的典型羣是李羣的重要例子，它們的構造及表示在李羣理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型羣的構造的研究得到了一大批有限單羣。這是繼交錯羣之後人們發現的又一批重要的有限單羣系列。經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單羣的系列後，為有限單羣分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型羣的構造也得到了大量的單羣。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、範·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型羣的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。 ^[3] 

一般線性羣亦稱全線性羣。一類重要的典型羣。若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構成一個羣，稱為V上的一般線性羣或全線性羣，記為GL(V).體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構成一個羣，稱為K上n次一般線性羣，記為GL_n(K)或GL(n，K)。取定V在K上任一組基後可將每個g∈GL(V)對應一個矩陣A∈GL_n(K)，從而得到GL(V)到GL_n(K)上的一個同構。在這個意義下，可以將GL(V)與GL_n(K)等同起來。

酉羣是一類重要的典型羣。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次酉羣，記為U(n)。一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裏H∈GL_n(K)且=εH，ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換。關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子羣，稱為關於f的酉羣，記為U_n(K，f).從矩陣的觀點看，U_n(K，f)={A∈GL_n(K)|HA=H}.當f是交錯雙線性型時U_n(K，f)就是辛羣Sp_n(K，f)；當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U_n(K，f)就是正交羣O_n(K，f)；當K是複數域，J是複共軛，H=I時，酉羣U_n(K，f)就是酉羣U(n)。

辛羣是一類重要的羣。辛空間的自同構羣。設(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個自同構。(V，ω)的自同構全體構成羣GL(V)的一個子羣，記為SP(V，ω)。特別地，標準辛空間(K，ω)的自同構羣記為Sp(2n，K)。若K=R(實數域)，則把Sp(2n，K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛羣。

正交羣是一類重要的典型羣。在實數域的特殊情形，全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次正交羣，記為O(n)。一般地，設V是域K上n維列向量空間，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個n×n矩陣)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對所有的x∈V成立，則稱g是關於Q的正交變換。關於Q的全體正交變換在映射乘法下構成一個羣，稱為關於Q的正交羣，記為O_n(K，Q)。當K的特徵≠2時，V上每個非退化對稱雙線性型f也決定一個正交羣：

其中Q(x)=f(x，x)/2。當K是實數域，Q是單位二次型Q(x)=x·x時的正交羣O_n(K，Q)就是O(n)。 ^[4]