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換位子羣

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在抽象代數中，一個羣的換位子羣或導羣，是指由這個羣的所有交換子所生成的子羣，記作[G,G]、G′或G(1) 。每個羣都對應着一個確定的交換子羣。在一個羣G的所有正規子羣中，交換子羣G′是使得G對它的商羣為交換羣的最小子羣。在某種意義上，交換子羣提供了羣G的可交換程度。因為從交換子的定義:，如果x與y交換，那麼[x,y]=e。一個羣內可交換的元素越多，交換子就越少，交換子羣也就越小。可交換羣的交換子羣為平凡羣{e}。
中文名
換位子羣
應    用
抽象代數

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 性質
  3. 3 應用

換位子羣定義

給定一個羣G，G的交換子羣或導羣： [G,G]、G′或G是G的所有交換子所生成的子羣：
類似地可以定義高階的導羣。
，其中n是整數。
可以證明，如果存在自然數 n 使得
那麼G是可解羣。
商羣G/[G,G]是一個阿貝爾羣，叫做G的阿貝爾化子羣，通常記作G。G的阿貝爾化子羣就是G的一階同調羣。
[G,G]=G的羣叫做完美羣，這是與阿貝爾羣相對的概念。完美羣的阿貝爾化子羣是單位羣{e}。

換位子羣性質

  1. G'是G的正規子羣。
  2. G對於自同構穩定:。
  3. 是一個滿同態，那麼。
  4. 如果H是G的正規子羣，那麼G/H是交換羣，當且僅G'當屬於H'。
  5. 可交換。

換位子羣應用

  • 4次交替羣的交換子羣是克萊因四元羣。
  • n次對稱羣的交換子羣是n次交替羣。
  • 四元羣Q= {1, −1,i, −i,j, −j,k, −k} 的交換子羣是 {1, −1}。