交換子

設

為希爾伯特空間，

為

的子代數，則

的交換子

是

中所有與

交換的算子的集合。 ^[2] 

交換子為含單位元的弱閉代數。

若交換子同時為自伴代數，則是馮·諾伊曼代數。 ^[3] 

設

是希爾伯特空間，如果

是自伴子代數，則

的交換子

也是自伴子代數，並且在強算子拓撲下閉。

稱

在

中的交換子為

在

中的二次交換子（double commutant），記為

。類似地，可以定義更高次的交換子

,

,...,此時，

=

=...,

=

=...。 ^[1] 

設

是代數

的子集，稱

中與

內的所有元素都交換的元素構成的集合，即

，為

在

中的交換子，記為

。

在抽象代數中，一個羣的換位子羣或導羣，是指由這個羣的所有交換子所生成的子羣，記作[G,G]、G′或G(1) 。每個羣都對應着一個確定的交換子羣。在一個羣G的所有正規子羣中，交換子羣G′是使得G對它的商羣為交換羣的最小子羣。

在某種意義上，交換子羣提供了羣G的可交換程度。因為從交換子的定義：[x,y]= xyx^-1y^-1，如果x與y交換，那麼[x,y]=e。一個羣內可交換的元素越多，交換子就越少，交換子羣也就越小。可交換羣的交換子羣為平凡羣{e}。