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馮·諾伊曼代數
鎖定
馮·諾伊曼代數亦稱弱閉對稱算子環，是一類由算子構成的弱閉的C*代數。
- 中文名
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馮·諾伊曼代數
- 外文名
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von Neumann algebra
- 所屬學科
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泛函分析
- 別 名
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W*代數
馮·諾伊曼代數簡介
馮·諾伊曼代數亦稱弱閉對稱算子環，是一類弱閉的算子C*代數。
馮·諾伊曼代數定義
馮·諾伊曼代數定義1
如果𝓜是𝓑(H)的自伴子代數，且關於𝓑(H)的
弱算子拓撲是閉的，則稱𝓜為
馮·諾伊曼代數。
馮·諾伊曼代數定義2
馮·諾伊曼代數定義3
如果𝓜是𝓑(H)的對合子代數，且𝓜的交換子的交換子為𝓜自身，則稱𝓜為
馮·諾伊曼代數。
[5]
馮·諾伊曼代數性質
馮·諾伊曼代數為算子C*代數。
馮·諾伊曼代數擁有足夠多的投射算子以生成本身。
[2]
對每個作用在可分希爾伯特空間的馮·諾伊曼代數𝓜，都存在一個可分C*子代數A，且A是𝓜的弱稠子集。
若
是𝓑(H)的交換*代數，則存在極大交換馮·諾伊曼代數包含
。
若T為希爾伯特空間的
正規算子，則T生成的馮·諾伊曼代數為交換代數。
若𝓜為𝓑(H)的自伴子代數，則𝓜的弱
閉包為馮·諾伊曼代數，且若𝓜為
交換代數，則
也是交換代數。
[2]
馮·諾伊曼代數相關概念
由於H上所有交換自伴算子代數對於包含為
偏序集，由
佐恩引理，該集合有極大元，為
極大交換自伴代數。
馮·諾伊曼代數與測度論的關係
若
為
測度空間，則L
∞(μ)為
的極大交換馮·諾伊曼代數，且L
∞(μ)的弱算子拓撲與弱*拓撲相同。
[3]
反之，給定任何交換馮·諾伊曼代數，都存在測度空間
，使得L
∞(μ)與其同構。
[4]
交換馮·諾伊曼代數理論等價于勒貝格測度理論與
自伴算子的
譜定理。
[5]
故馮·諾伊曼代數理論是
測度論的非交換推廣。
[2]
馮·諾伊曼代數發展
馮·諾伊曼代數是馮·諾伊曼(vonNeumann,J.)等人於1935年開始研究的一類算子環，他們得到完整而深入的結果，後人為紀念這一數學理論的奠基者，就以他的名字來命名這類算子環。
有些文獻把馮·諾伊曼代數定義為𝓑(H)中弱（強）閉自伴子代數（不必含單位算子I）。
[1]
- 參考資料
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1.
《數學辭海》總編輯委員會．《數學辭海》第3卷：東南大學出版社，2002
-
2.
William Arveson．譜理論簡明教程：Springer，2002
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3.
William Arveson．C*代數入門：Springer，1976
-
4.
Masoud Khalkhali．Basic Noncommutative Geometry：歐洲數學會，2013
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5.
Alain Connes．非交換幾何：Elsevier，1994
