商羣

在隨後的討論中，我們將使用在 G 的子集上的二元運算：如果給出 G 的兩個子集 S 和 T，我們定義它們的乘積為 ST = { st : s∈S 並且 t∈T }。這個運算是符合結合律的並有單位元為單元素集合 ，這裏的 e 是 G 的單位元。因此，G 的所有子集的集合形成了在這個運算下的幺半羣。

憑藉這個運算我們可以首先解釋商羣是什麼，並接着解釋正規子羣是什麼:

羣 G 的商羣是其自身在這個運算下的羣 G 的劃分。

它完全由包含 e 的子集所確定。G 的正規子羣是在任何這種劃分中包含 e 的集合。在劃分中的子集是這個正規子羣的陪集。

羣 G 的子羣 N 是正規子羣，當且僅當陪集等式 aN = Na 對於所有 G 中的 a 都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算，G 的正規子羣是交換於 G 的所有子集的子羣，並指示為 N ⊲ G。 置換於 G 的所有子羣的子羣叫做可置換子羣。 ^[1] 

設 N 是羣G 的正規子羣。我們定義集合 G/N 是 N 在 G 中的所有左陪集的集合，就是説 G/N = { aN : a∈G }。在 G/N 上的羣運算定義如上。換句話説，對於每個 G/N 中 aN 和 bN，aN 和 bN 的乘積是 (aN)(bN)。這個運算是閉合的，因為 (aN)(bN) 實際上是左陪集:

(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N。

N 的正規性被用在了這個等式中。因為 N 的正規性，N 在 G 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 G/N 也可以定義為 N 在 G 中所有的右陪集的集合。因為運算是從 G 的子集的乘積得出的，這個運算是良好定義的(不依賴於表示的特定選擇)，符合結合律的，並有單位元 N。G/N 的元素 aN 的逆元是 (a^-1)N。 ^[1] 

G/N 叫做商羣的理由來自整數的除法。在 12 除以 3 的時候得到答案 4 是因為我們可以把 12 個對象重新分組為 3 個對象的 4 個子集。商羣出於同樣想法，但用一個羣作為最終答案而非一個數，因為羣要比對象的隨機蒐集要更有結構。

更細緻的説，在查看 G/N 而 N 是 G 的正規子羣的時候，這個羣結構形成一種自然“重新分組”。它們是 N 在 G 中陪集。 因為我們從一個羣和正規子羣得到的最終的商包含比只是陪集的(正常除法所產生的)數目要更多的信息，這裏得到了一個羣結構自身。 ^[1] 

商羣 G / G 同構於平凡羣(只有一個元素的羣)，而 G / 同構於 G。

G / N 的階定義為等於 [G : N]，它是 N 在 G 中的子羣的指標(index)。如果 G 是有限的，這個指標還等於 G 的階除以 N 的階。注意 G / N 可以在 G 和 N 二者是無限的時候是有限的(比如 Z / 2Z)。

有一個“自然”滿射羣同態 π : G → G / N，把每個 G 的元素 g 映射到 g 所屬於的 N 的陪集上，也就是: π(g) = gN。映射 π 有時叫做“ G 到 G / N 上的規範投影”。它的核是 N。

在包含 N 的 G 的子羣和 G / N 的子羣之間有一個雙射映射；如果 H 是包含 N 的 G 的子羣，則對應的 G / N 的子羣是 π(H)。這個映射對於 G 的正規子羣和 G / N 也成立，並在格定理中形式化。

商羣的一些重要性質記錄在同態基本定理和同構基本定理中。

如果 G 是阿貝爾羣、冪零羣或可解羣，則 G / N 也是。

如果 G 是循環羣或有限生成羣，則 G / N 也是。

如果 N 被包含在 G 的中心內，則 G 也叫做這個商羣的中心擴張。

如果 H 是在有限羣 G 中的子羣，並且 H 的階是 G 的階的一半，則 H 保證是正規子羣，因此 G / H 存在並同構於 C2。這個結果還可以陳述為“任何指標為 2 的子羣都是正規子羣”，並且它的這種形式還適用於無限羣。

所有羣都同構於一個自由羣的商。

有時但非必然的，羣 G 可以從 G / N 和 N 重構為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。Z4 / { 0, 2 } 同構於 Z2，並且還同構於 { 0, 2 }，但是唯一的半直積是直積，因為 Z2 只有一個平凡的自同構。所以 Z4 不同於 Z2 × Z2，它不能被重構。 ^[1] 

考慮整數集 Z (在加法下)的羣和所有偶數構成的子羣 2Z。這是個正規子羣，因為 Z 是阿貝爾羣。只有兩個陪集：偶數的集合和奇數的集合；因此商羣 Z/2Z 是兩個元素的循環羣。這個商羣同構於集合 { 0, 1 } 帶有模 2 加法運算的羣；非正式的説，有時稱 Z/2Z 等於集合 { 0, 1 } 帶有模 2 加法。

上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集 Z 在加法下的羣。設 n 是任何正整數。我們考慮由 n 的所有倍數構成的 Z 的子羣 nZ。nZ 在 Z 中還是正規子羣因為 Z 是阿貝爾羣。陪集們是蒐集 {nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整數 k 屬於陪集 r+nZ，這裏的 r 是 k 除以 n 的餘數。商 Z/nZ 可以被認為模以 n 的“餘數”的羣。這是個 n 階循環羣。

N 在 G 中的陪集考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾羣 G，它們是在單位圓上的點，它們着色的球並在每點上用數標記出它們的幅角。考慮它由單位一的四次根構成的子羣 N，表示為紅色球。這個正規子羣把羣分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的羣(紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素，藍色元素的逆元是綠色元素等等)。因此商羣 G/N 是三種顏色元素的羣，它又是三個元素的循環羣。

考慮實數集 R 在加法下的羣，和整數集子羣 Z。Z 在 R 中的陪集們是形如 a + Z 的所有集合，這裏 0 ≤ a < 1 是實數。這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法，並在結果大於或等於 1 的時候減去 1 完成的。商羣 R/Z 同構於圓羣 S1，它是絕對值為 1 的複數在乘法下的羣，或者説關於原點的二維旋轉的羣，也就是特殊正交羣 SO(2)。有一個同構給出為 f(a + Z) = exp(2πia) (參見歐拉恆等式)。

如果 G 是可逆的 3 × 3 實數矩陣的羣，而 N 是帶有行列式為 1 的 3 × 3 實數矩陣的子羣，那麼 N 在 G 中是正規子羣(因為它是行列式同態的核)。N 的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此 G/N 同構於非零實數的乘法羣。

考慮阿貝爾羣 Z4 = Z/4Z (也就是集合 { 0, 1, 2, 3 } 帶有加法模 4)，和它的子羣 { 0, 2 }。商羣 Z4 / { 0, 2 } 是 { { 0, 2 }, { 1, 3 } }。這是帶有單位元 { 0, 2 } 的羣，羣運算如 { 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子羣 { 0, 2 } 和商羣 { { 0, 2 }, { 1, 3 } } 同構於 Z2。

考慮乘法羣 。第 n 個餘數的集合 N 是 的 ϕ(n) 階乘法子羣。則 N 在 G 中是正規子羣並且因子羣 G/N 有陪集 N, (1+n)N, (1+n)2N,…,(1+n)n−1N。 Pallier加密系統基於了在不知道 n 的因子分解的時候難於確定 G 的隨機元素的陪集的猜想。 ^[2]