有限生成羣

有限生成羣(finitely generated group)是無限羣論研究的重要對象之一。指除有限羣外最熟悉的滿足有限性條件的羣。已知存在

種非同構的有限生成羣，甚至有

種非同構的有限生成的可解羣；並且每一可數羣可以嵌入一個2生成元羣，所以即使是2生成元羣都可能有非常複雜的結構。這説明羣的有限生成性是一種非常弱的有限性條件。若羣G有一個呈示，其生成元集和定義關係集都是有限的，則稱G是有限呈示羣。已經證明，只存在可數多種非同構的有限呈示羣。可解的有限呈示羣是無限羣研究的重要對象。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

有限羣是循環羣的任一直積是有限交換羣。反之，任一有限交換羣必具有這種形式。特別，其階為素數的所有有限羣皆是循環羣。

任一有限羣(不一定是交換的)同構於一有限集的置換羣的一個子羣。人們還沒有弄清楚有限羣的分類。

非交換的有限羣之研究基本上停留在p-羣的概念上. 這是指其階為一個素數p的冪的有限羣.有限羣G的所有最大p-子羣叫做G的西羅子羣;G的所有西羅p-子羣都是共軛的，而它們的公共階是能整除G的階的p之最大冪.

具有有限多個元素的羣，是羣論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限羣的階。歷史上，抽象羣論的許多概念起源於有限羣論。有限羣可分為兩大類：可解羣與非可解羣(即單羣)。

有限羣的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解羣和單羣是抽象羣理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內，詳細地研究了單羣和可解羣，證明：一個素數階循環羣是單羣，n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換羣是單羣。他還發現了許多其他有限的單羣。赫爾德和若爾當還建立了在有限羣中的若爾當—赫爾德合成羣列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解羣的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於pq(p、q是素數)必是可解羣的定理，導致了對有限單羣進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限羣中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數階羣一定是可解羣。它推動了有限羣理論的發展。有限單羣的完全分類，即找出有限單羣所有的同構類，經過上百名數學家約40年的共同努力，終於在1981年得到解決，這是數學史上的一個非凡成就。

羣論的一個獨立分支.主要研究無限羣(元素個數無限的羣)的理論。19世紀末，由於幾何和拓撲研究的需要，無限羣作為由一系列生成元及定義關係所定義的羣出現。克萊因(Klein，C.F.)、李(Lie，M.S.)等對無限羣的產生有很大的影響.20世紀20年代和30年代，貝爾(Baer，R.)、施米特(Щмирт，О.Ю.)和庫洛什(Курош，А.Г.)等對無限羣的發展起了重要作用.不假定羣階有限性而敍述羣論基礎的第一本書是1916年出版的施米特的《抽象羣論》.由於各國羣論工作者，特別是德國、英國和蘇聯的羣論專家的努力，使無限羣論日趨完善，到20世紀40年代已經形成獨立的理論體系，成為羣論的一個新分支，其中最精彩的理論是霍爾(Hall，P)和馬爾採夫(Малцев，А.И.)關於無限可解羣的工作.1940年出版的庫洛什的名著《羣論》對無限羣論的發展起了重要作用，特別是1955年出版的這本書第二版的英譯本。魯賓孫(Robinson，D.J.S.)於1972年出版的《有限性條件和廣義可解羣》是繼庫洛什的《羣論》之後最重要的無限羣著作之一。

無限羣論的大量工作是將有限羣的許多好的結果推廣到無限羣中去。這樣，一方面就導致比羣階的有限性弱的一些有限性條件；另一方面引入了一些在有限羣中是等價的但在無限羣中卻不同的性質，由此產生了許多種類的廣義可解羣和廣義冪零羣。正如庫洛什指出“……一個新的羣論分支……它的任務是在某種意義上接近羣階的有限性的條件限制下，研究在某種意義上接近阿貝爾羣的羣”。所以，無限羣論的主要研究對象是廣義冪零羣、廣義可解羣和滿足所謂有限性條件的羣。無限羣論仍然是一個比較活躍的數學分支。

可解羣是一種重要的羣類。即可由交換羣經有限步疊加而得的羣。若羣G有一個有限長的正規羣列G≥G₁≥G₂≥…≥G_n=1，使得每個商因子都是交換羣，則稱G是一個可解羣，或稱G是可解的。可解羣的概念源自伽羅瓦(Galois，E.)對解代數方程的研究，他發現由一個代數方程的所有解可產生一個置換羣(也就是擴域的自同構羣，稱之為一個伽羅瓦羣)，這個代數方程能用根式解出當且僅當該羣具有正規列。可解羣的名稱由此而來。霍爾(Hall，P.)於20世紀30—40年代對有限可解羣理論做了奠基性貢獻。費特-湯普森奇階定理成為另一個里程碑.近幾十年，有限可解羣研究仍屬活躍領域。例如羣系等羣類理論就始於有限可解羣研究並以可解羣為重點。對無限可解羣的研究也有了長足的進步。儘管有限可解羣的研究方法與成果不能完全推到無限可解羣，但帶交換商因子的正規列這一定義條件使很多思想與工具，如模論、表示論等，均可發揮出色的作用。 ^[3]