模論

模論是抽象代數學的重要組成部分之一，主要研究環上的模。模的概念本質上是域上向量空間的直接推廣。

早在19世紀，狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.)就曾經考慮過多項式環上的模。

20世紀20年代，諾特(Noether,E.)曾一再提出過模的重要作用，交換環上的模在代數幾何中有重要作用。交換環上的模在代數幾何中有重要作用，域上的模就是向量空間。

到了20世紀40年代，由於環論的需要和同調代數的興起，模論得到了進一步發展。

近30年來，已成為同調代數、羣論、環論、代數K理論、範疇論等分支學科研究中不可缺少的工具，並在其他數學分支，如代數幾何、拓撲學、泛函數分析甚至微分方程等領域裏得到了較廣泛的應用。

現代模論已成為內容豐富、文獻浩繁的代數學的一個獨立分支 ^[1]  。

模是線性空間的推廣，把線性空間的定義中的域放寬成環，就得到模的概念，這意味着模中有“加法”和“數乘”兩種運算，環與域的最大不同在於兩點：一是環裏有些元素不可逆，一是環的乘法不一定滿足交換律，這既使得模所包含的對象比線性空間廣泛得多，又使得模需要區分左模和右模，模是近代代數學的最基本的概念之一，模的理論在許多代數分支內都有重要應用。

模論是抽象代數的基本而重要的部分，與代數的許多分支有着密切的聯繫。是羣論、環論相當重要的工具，同時也是同調代數、範疇理論以及代數拓撲的理論基礎。作為一門課程, 模論已被列入數學系本科生代數選修課的首選課程之一。它與數學系兩門必修的代數課程—高等代數、近似代數的聯繫相當密切。一方面，它以高等代數與近似代數的理論、方法作為全面的必要的基礎，另一方面，又使得這些理論與方法得到充分的應用、補充和深化。一個最經典的例子就是模論把域上的有限維向量空間的理論相當完美地推廣到主理想整環的情形, 建立了主理想整環上的有限生成模的理論。因此，無論是大學、專科還是大學本科數學系的代數老師，模論知識就成為必備的修養。

模的基本理論包括模的定義，還有模論中的一些基本概念，像其他代數系統一 樣， 為了對模進行深入系統 的研究, 必須建立一系列至關重要的概念。 這些概念構成了模論的骨架。我們有子模、商模、循環模、有限生成模、 單模等概念。 為了研究模與模之間的關係，我們有模的同態、同構、同態的核、 同態的像等概念，這 些概念同羣論中相應的概念是基本類似的。要特別敍述 一 下的是正合列， 這 個概念在模論的研究中起着最基礎的作用。 設

為一個序列，

為模同態，如果

則稱該序列為一個正合列。

為了研究模，人們已建立了一整套完備的模論基本定理。這些基本定理成為研究模的基本工具，也構成了模論最基礎的部分。有模同態基本理論、三 個同構定理：第一同構定理、第二同構定理、第三同構定理、Jordan-jolder定理、模的升鏈條件和降鏈條件等等 ^[2]  。

在經典環論中，人們往往是利用環的各種根， 如 Jacobson 根、Baer根、Koethe 根、Levitzki根、Brown-McCoy根等和環的理想的性質，如諧零性、冪零性等以及環的鏈條件(升鏈和降鏈條件)來研究環的。這些方法對環論的研究起了非常重要的作用。 但自從模論引進環的研究後, 環論的研究就呈現出非常生機的景象。利用模來研究環，從最原始的角度來講，也是非常自然的。 因為環R上的一個模M實質上就是環的一 個表示。環的各種表示 的全體必然攜帶着環的各種信息。 我們知道，一個環 R 上的所有表示或所有模構成一 個Abel範疇。這就使得我們 自然地利用範疇論的思想來研究環論。重要知識點有兩個重要的函子：Hom和⊕；幾種重要的模類：自由摸、投射模、內射模、平坦模；重要的模論刻畫等 ^[2]  。