循環模

循環模(cyclic module)是一類特殊的有限生成模。可由一個元素生成的A模M稱為循環模(A是有單位元環)，即，有x∈M，使得M=Ax成立。環A作為A模是循環模。A模M是循環模的充分必要條件是MA/I，其中I為A的一個左理想。 ^[1] 

模是一個重要的代數系統。它是一個帶算子區A的交換(加)羣M。給定集合A與交換羣M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區，稱M為帶算子區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換羣M能否成為A模就是看能否給出映射

μ： A→End(M)，　a→a_M.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A。若A有單位元1，且又滿足條件

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或幺模。

抽象代數學的重要組成部分之一，主要研究環上的模。模的概念本質上是域上向量空間的直接推廣。早在19世紀，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾經考慮過多項式環上的模，20世紀20年代，諾特(Noether，E.)曾一再提出過模的重要作用。交換環上的模在代數幾何中有重要作用，非交換環特別是羣環上的模就是羣的線性表示，域上的模就是向量空間.到了20世紀40年代，由於環論的需要和同調代數的興起，模論得到了進一步發展.近30年來，已成為同調代數、羣論、環論、代數K理論、範疇論等分支學科研究中不可缺少的工具，並在其他數學分支，如代數幾何、拓撲學、泛函分析甚至微分方程等領域裏得到了較廣泛的應用.現代模論已成為內容豐富、文獻浩繁的代數學的一個獨立分支. ^[2] 

模論的基本概念之一。指可以表示出A模M中任一個元的M的一組元素。考慮環A模M時，A的元稱為純量，A稱為M的係數環或基環，運算A×M→M稱為純量乘法，ax稱為x的純量倍，它的全體記為Ax。對M的一簇元素{x_λ}_λ∈I，形式為：

的元的全體N是包含全部x_λ(λ∈I)的M的最小子模，它等於和：

稱N由{x_λ}_λ∈I所生成，而{x_λ}_λ∈I稱為N的生成系。若I是可數集，且M由{x_λ}_λ∈I生成，則稱M為可數生成模。當I是有限集，且M=Ax₁+Ax₂+…+Ax_n，稱M為有限生成模，此時任x∈M有表示式：

x=r₁x₁+r₂x₂+…+r_nx_n，　r₁，r₂，…，r_n∈A.

模M是有限生成當且僅當對M的每一個子模集{A_i|i∈I}，若有：

則存在有限子集I₀I，使得：

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一.設F是Ω上的一個非空集類.如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環.例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環(參見第一卷《布爾代數》)。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。 ^[3]