同構基本定理

同構基本定理最早由埃米·諾特（Emmy Noether）在她於1927在德國數學期刊數學分析（Mathematische Annalen）發表的論文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明確闡述。

我們首先敍述羣論中的同態基本定理，他們的形式相對簡單，卻表達了商羣的重要性質。定理的敍述中用到了關於正規子羣的等價類概念。

敍述：如果f是羣G到羣H的一個羣同態，則

f的核(kernel)K是G的正規子羣; 商羣G/K羣同構於f的像（image）; f的像是H的子羣。 數學表達

G,H是羣 是羣同態 則 是H的子羣。 羣同態第二基本定理 （或稱羣同態第三基本定理）敍述：如果H和K是羣G的子羣，H是K的正規化子的子羣，則

H與K的乘積HK是G的子羣； K是HK的正規子羣，H∩K是H的正規子羣； HK/K同構於H/(H∩K)。 數學表達

H,K是G的子羣 H是的子羣 則 HK是G的子羣 羣同態第三基本定理 （或稱羣同態第二基本定理）敍述：如果M、N是G的正規子羣，M屬於N，那麼

M是N的正規子羣; N/M是G/M的正規子羣； (G/M)/(N/M)同構於G/N。 數學表達

則

將定理中的“羣”換為“R-模”，將“正規子羣”換為“子模”，就得到對於確定的環R上的模的同構基本定理，（因此同構基本定理對於確定的域上的向量空間也成立）對於向量空間，同構第一基本定理即是秩-零化度定理。 將定理中的“羣”換為“環”，“子羣”換為“子環”，“正規子羣”換為“理想”，“商羣”換為“商環”就得到環的同構基本定理。 與子羣的乘積HK相對應的定義是子模，子環，子空間的並，用H+ K而不再用HK表示。具體的定義是：

廣泛代數中，正規子羣被推廣為更廣泛的同餘類的概念。

設A是一個代數結構，A的一個同餘類是A上的一個等價關係Φ，可看作是A x A上的子代數。等價類A/Φ的集合在定義了適合的運算法則後，便可成為與A同類型的代數結構。

設A和B是兩個代數結構，f是A到B的態射，則A等價關係Φ：a~b當且僅當f(a)=f(b)是A上的一個同餘類，並且A/Φ同構於f的像（B的子代數）。

設B是A的子代數，Φ是A上的同餘類。令[B]Φ是所有包含B種元素的同餘類的集合，它是A/Φ的一個子集；ΦB是Φ限制在 B x B上的部分。那麼[B]Φ是A/Φ的子代數結構，ΦB是B上的同餘類，並且[B]Φ同構於B/ΦB。

設A是一個代數結構，Φ和Ψ是A上的兩個同餘關係，Ψ包含於Φ。則Φ定義了A/Ψ上的一個同餘類Θ：[a]~[b]當且僅當a與b關於 Φ同餘（[a]表示a所在的Ψ-等價類），並且A/Φ同構於(A/Ψ)/Θ。