羣同構

兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。

建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。

同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。

設G與G’是兩個羣，如果有 一個由G到G’上的|-|映射σ，使經(ab)=σ(a)σ(b)對所有的a，b∈G都成立，麼就説G同構於G’，記作G≅G’。適合以上條件的映射叫做同構映射(或簡稱同構)。羣G到自身的同構叫做自同構。

設E為羣胚，幺半羣，羣，環，向量空間，代數或酉代數。從E到其自身上的同構稱為E的自同構。

賦以合成法則(f，g)↦g°f後，E的自同構集是一個羣，自然地稱為E的自同構羣，記為Aut(E).例如，設E為交換體K上的向量空間. E的同位相似是自同構，當且僅當它的比不為零. ——現假定E為有限維的。為使E的自同態是自同構，必須且只須它是單射，或是雙射。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

一種特殊的羣。指羣自身的映射所構成的羣。羣G的所有自同構在映射的合成運算下構成的一個羣，稱為羣G的自同構羣，常記為Aut(G)。

重要的幾何變換羣。是幾何學分類的依據。設S是給定的空間，U是S上的一個圖形，若S到自身的一個變換g把U變到U自身，則稱g是關於U的自同構變換，簡稱關於U的自同構。S上關於U的自同構變換的全體構成一個變換羣，稱它為關於U的自同構羣。在變換中保持不變的這個圖形U稱為絕對形。例如，在射影平面上取一條直線作無窮遠直線，則在射影平面上保持無窮遠直線不變的自同構射影變換構成一個變換羣，它是關於無窮遠直線的自同構羣，同時它也是二維射影變換羣的子羣，即仿射變換羣。

亦稱節點羣。圖論中一類重要的羣。它是圖G的所有自同構形成的羣。自同構羣為平凡羣的圖稱為幺圖。柯尼希(Ko¨nig，D.)證明：任何一個有限抽象羣同構於某個圖的自同構羣。圖G的所有自同態形成一個半羣，稱為圖G的自同態半羣。任何一個有單位元的有限半羣同構於某個圖的自同態半羣。作用在圖G的邊集E上的自同構羣稱為G的邊羣，又稱線羣。由各種圖的運算得來的複合圖的羣用構成它的各個圖的羣的複合表示出來，稱這種表示為複合圖的羣。以下為常用的結果： ^[3] 

1.補圖的羣：Γ(G-)=Γ(G).

2.同構不交併圖的羣：Γ(nG)=S_n[Γ(G)].

3.不同構不交併圖的羣：

Γ(G₁∪G₂)=Γ(G₁)+Γ(G₂).

4.不交併圖的羣：

Γ(G₁+G₂)=Γ(G₁)+Γ(G₂)

的充分必要條件為G-₁沒有連通片同構於G-₂的連通片。