拉格朗日定理

在微積分中，拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。

1.文字敍述

如果函數

滿足：1) 在閉區間

上連續；2) 在開區間

內可導；那麼在

內至少有一點

，使等式

成立。

2.邏輯語言的敍述

若函數

滿足：

則

3.證明

令

，那麼 ^[1] 

1）

在

上連續，

2）

在

上可微（導），

3）

，由羅爾定理，存在一點

，使得

。即

。

1.內容

四平方和定理（Lagrange's four-square theorem） 説明每個正整數均可表示為4個整數的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。

2.歷史

1） 1743年，瑞士數學家歐拉發現了一個著名的恆等式：

。根據上述歐拉恆等式或四元數的概念可知如果正整數

和

能表示為4個整數的平方和，則其乘積

也能表示為4個整數的平方和。於是為證明原命題只需證明每個素數可以表示成4個整數的平方和即可。

2）1751年，歐拉又得到了另一個一般的結果。即對任意奇素數

，同餘方程

必有一組整數解

滿足

，

（引理一）。

至此，證明四平方和定理所需的全部引理已經全部證明完畢。此後，拉格朗日和歐拉分別在1770年和1773年作出最後的證明。

拉格朗日定理是羣論的定理，利用陪集證明了子羣的階一定是有限羣的階的約數值。

1.定理內容

敍述：設H是有限羣

的子羣，則

的階整除

的階。

定理的證明是運用

在

中的左陪集。

在

中的每個左陪集都是一個等價類。將

作左陪集分解，由於每個等價類的元素個數都相等，都等於

的元素個數（

是

關於

的左陪集），因此

的階（元素個數）整除

的階，商是

在

中的左陪集個數，叫做

對

的指數，記作

。

定義二元關係

：

。下面證明它是一個等價關係。

1) 自反性：

；

2) 對稱性：

，因此

，因此

；

3) 傳遞性：

，因此

，因此

。

可以證明，

。因此左陪集是由等價關係

確定的等價類。

拉格朗日定理説明，如果商羣

存在，那麼它的階等於

對

的指數

。

上述寫法在為無限羣時也成立。

2.推論

由拉格朗日定理可立即得到：由有限羣

中一個元素

的階數整除羣

的階（考慮由

生成的循環羣）。

3.逆命題

拉格朗日定理的逆命題並不成立。給定一個有限羣

和一個整除

的階的整數

，

並不一定有階數為

的子羣。最簡單的例子是4次交替羣

，它的階是12，但對於12的因數6，

沒有6階的子羣。對於這樣的子羣的存在性，柯西定理和西洛定理給出了一個部分的回答。