循環羣

若一個羣G的每一個元都是G的某一個固定元a的乘方，則稱G為循環羣，記作G=(a)={a^m |m∈Z}，a稱為G的一個生成元。

特別地，如果G的代數運算採用加號表示時，則有 (a)={ma | m∈Z}

設(a)是一個循環羣，

(1)若|a|=∞，則(a)與整數加羣Z同構；

(2)若IaI=n，則(a)與模n的剩餘類加羣Z_n同構。

證(1)|a|=∞，則當m≠n時，

a^m≠aⁿ，(a)={…，a^-2，a^-1，e，a¹，a²，…}.

於是令 φ：(a)→Z，a^m→m可以證明這是循環羣(a)到整數加羣Z的一個雙射，且

φ(a^m·aⁿ)=φ(a^m+n)=m+n=φ(a^m)+φ(aⁿ)，

故φ是(a)到Z的一個同構映射，所以(a)≌Z.

(2)設IaI=n，則(a)={e，a，a²，…，a^n-1}

令 σ：(a)→Z_n，a^m→[m].

若有m，m′∈Z，m′>m使得a^m=a^m'，則a^m'-m=e，而aⁿ=e，所以n | m'-m，即m'=m(mod n)，因此[m′]=[m]，故σ是(a)到Z_n的一個映射.

又∀[0]≤[k]≤[n-1]，有a^k∈(a)，使得[k]=σ(a^k)，且若a^m≠a^m′，則σ(a^m)≠σ(a^m′)，同時∀a^m、a^m′∈(a)，

σ(a^m·a^m')=σ(a^m+m')

=[m+m′]=[m]+[m′]

=σ(a^m)+σ(a^m′)，

所以σ是(a)到Z_n的一個同構映射，即(a)≌Z_n。

由於羣之間的同構關係具有反身性、對稱性和傳遞性，故這個定理告訴我們，凡無限循環羣都彼此同構，凡有限同階循環羣都彼此同構，而不同階的羣，由於不能建立雙射，當然不能同構。這樣抽象地看，即在同構意義下，循環羣只有兩種，即整數加羣和模n的剩餘類加羣.

有且僅有兩個元1和-1可以作為整數加羣Z的生成元，且在Z中除零元外，每個元的階都是無限的.

證 已證1和-1可以作為整數加羣Z的生成元，如果另有k是生成元，則(k)=(1)=Z，這時由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，於是k=m=±1，所以只有兩個元1與-1可以作為整數加羣Z的生成元。

若k∈Z，k≠0，則∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞

説明，有且僅有兩個元a與a^-1可以作為無限循環羣(a)的生成元，在無限循環羣(a)中除單位元的階是1以外，其餘元的階都是無限的.

在模n的剩餘類Z_n中，有

(1)|[k]|=n/(k,n)

(2)[k]是Z_n的生成元<=>(k，n)=1.

證 (1)由定理可得.

(2)若[k]∈Z_n，則([k])⊆Z_n，由(1)與(k，n)=1知|[k]|=n，所以|([k])|=n，Z_n=([k])

反之，設[k]是Z_n的生成元，有([k])=Z_n，所以|([k])|=n，由(1)知(k，n)=1.

此定理説明|(a)| =n時，(a^k)=(a)<=>(k，n)=1。 ^[2]