-
羅爾中值定理
鎖定
羅爾定理描述如下：
- 中文名
- 羅爾中值定理
- 外文名
- Rolle's theorem
- 別 名
- 羅爾定理
- 提出時間
- 1691年
- 適用領域
- 物理、數學等
- 應用學科
- 高等數學 微分學
羅爾中值定理證明過程
1. 若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函數，結論顯然成立。
2. 若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理，可導的極值點一定是駐點，推知：f'(ξ)=0。
另證：若 M>m ，不妨設f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。
羅爾中值定理幾何意義
若連續曲線y=f(x) 在區間 [a,b] 上所對應的弧段 AB，除端點外處處具有不垂直於 x 軸的切線，且在弧的兩個端點 A,B 處的縱座標相等，則在弧 AB 上至少有一點 C，使曲線在C點處的切線平行於 x 軸。
羅爾中值定理幾種特殊情況
（1）有界開區間上的有界函數
若函數
在區間
上連續且可導，並有
，則至少存在一個
，使得
。
（2）有界區間上的無界函數
若函數
在區間
上連續且可導，並有
（或
），則至少存在一個
，使得
。
（3）無界區間上的有界函數
若函數
在區間
上連續且可導，並有
，則至少存在一個
，使得
。
（4）無界區間上的無界函數
若函數
在區間
上連續且可導，並有
（或
），則至少存在一個
，使得
。
（5）半無界區間上的有界函數
若函數
在區間[
)上連續且可導，並有
，則至少存在一個
，使得
。
（6）半無界區間上的無界函數
若函數
在區間[
)上連續且可導，並有
（或
），則至少存在一個
，使得
。
證明
這裏僅選擇特殊情況（2）、（3）加以證明，其餘證明的思路大致類似。
定理 若函數
在區間
上連續且可導，並有
。則至少存在一個
，使得
。
證明：至少可取到一點
，使
，否則
恆等於
，對於任意的實數
，都有
。
不妨設
，取
，顯然
。根據極限定義，由
可得
任取
，則有
，
。
利用
，類似地可知存在
，使
。
於是，
在閉區間
上連續，則在閉區間
上必有
的最小值點
，由於閉區間
的兩個端點都不可能是
的最小值點，由此可知
，根據費馬定理可知
。
定理 若函數
在區間
上連續且可導，並有
。則至少存在一個
，使得
。
證明： 任取
，因為
，所以至少存在一點
，使
。
類似地由
可知存在一點
，使
。
這就有了
且
，
於是，
在閉區間
上連續，則在閉區間
上必有
的最小值點
，由於閉區間
的兩個端點都不可能是
的最小值點，由此可知
，根據費馬定理可知
。
羅爾中值定理範例解析
用羅爾中值定理證明：方程
3
在 (0,1) 內有實根。
證明： 設
