無界函數

定義1 設函數

的定義域為D，若存在一個常數M(L)，使得

，都有

則稱

為D內有上(下)界的函數，數M(L)稱為

在D內的一個上(下)界。

定義2 設函數

若存在一個正數K>0，使得

，都有

則稱

在D內是有界函數；否則，稱為無界函數 ^[1]  。

有界函數的等價定義是：若

在D內既有上界又有下界，則稱

在D內是有界函數。

在D內有界當且僅當數集

是有界集，即

其中M，L為常數，分別稱為

的一個上界和一個下界。

無界的正面描述是：

是無界函數當且僅當

，使得

。

有界函數的幾何意義：

若函數

為有界函數，則

的圖像

完全落在直線y=M和y=-M之間。

注意： 函數的有界性與函數自變量x的取值範圍有關，如：y=x，在R內無界，但在任何有限區間內都有界 ^[1]  。

有界函數的圖形必介於兩條平行於x軸的直線y=-M和y=M之間（當自變量為x時），籠統地説某個函數是有界函數或無界函數是不確切的，必須指明所考慮的區間。

例如，函數

在

內是有界的，因為對任意

，存在M=1，使得

恆成立。

函數

在開區間

上是無界的。

函數

在開區間(0，1)內是無界的，而函數

在區間[1，2]內是有界的。

函數

是有界函數，因為在其定義域

內恆有

。