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有界函數

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有界函數是設f(x)是區間E上的函數，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區間E上的有界函數。其中m稱為f(x)在區間E上的下界，M稱為f(x)在區間E上的上界。
有界函數並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味着值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定義的函數f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時，函數的值就變得越來越大。
中文名
有界函數
外文名
Bounded Function
所屬學科
數學
應用領域
自然科學
性    質
有界性
對應概念
無界函數

目錄

  1. 1 概念
  2. ▪ 等價定義
  3. ▪ 例子
  4. 2 新的概念
  1. ▪ 相關概念
  2. ▪ 例子
  3. 3 性質
  4. ▪ 單調性
  1. ▪ 連續性
  2. ▪ 可積性
  3. 4 無界函數

有界函數概念

有界函數等價定義

設ƒ(x)是區間E上的函數。若對於任意屬於E的x，存在常數M>0，使得|ƒ(x)|≤M，則稱ƒ(X)是區間E上的有界函數。 [1] 

有界函數例子

正弦函數sin x 和餘弦函數cos x為R上的有界函數，因為對於每個x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1

有界函數新的概念

下面介紹與有界函數概念相關的幾個概念。

有界函數相關概念

設函數f(x)是某一個實數集A上有定義，如果存在正數M 對於一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的則稱函數f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數M則稱函數f(x)在A上無界 設f為定義在D上的函數，若存在數M（L），使得對每一個x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）
則稱ƒ在D上有上（下）界的函數，M（L）稱為ƒ在D上的一個上（下）界。
根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味着值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。又若M(L)為ƒ在D上的上（下）界，則任何大於（小於）M（L）的數也是ƒ在D上的上（下）界。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界 [1]  。
一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。所以，一個數列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的，如果存在一個數M> 0，使得對於所有的自然數n，都有：
。

有界函數例子

由ƒ (x)=sinx所定義的函數f:R→R是有界的。如果正弦函數是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。 函數 （x不等於-1或1）是無界的。當x越來越接近-1或1時，函數的值就變得越來越大。但是，如果把函數的定義域限制為[2, ∞).，則函數就是有界的。
函數是有界的。
任何一個連續函數f:[0,1] →R都是有界的。 考慮這樣一個函數：當x是有理數時，函數的值是0，而當x是無理數時，函數的值是1。這個函數是有界的。有界函數並不一定是連續的。

有界函數性質

函數的有界性與其他函數性質之間的關係
函數的性質：有界性，單調性，週期性，連續性，可積性。

有界函數單調性

閉區間上的單調函數必有界。其逆命題不成立。

有界函數連續性

閉區間上的連續函數必有界。其逆命題不成立。

有界函數可積性

閉區間上的可積函數必有界。其逆命題不成立。

有界函數無界函數

類似的我們可以定義無界函數: 設ƒ為定義在D上的函數，若對於任何M（無論M多大），都存在x0∈D，使得|ƒ(x)|≥M。相關詳細定義請查看百度百科無界函數
參考資料
  • 1.    華東師範大學數學系．數學分析：高等教育出版社，2012