可積性

數學上，可積函數是存在積分的函數。除非特別指明，一般積分是指勒貝格積分。否則，稱函數為"黎曼可積"（也即黎曼積分存在），或者"Henstock-Kurzweil可積"，等等。

注意，函數可以有不定積分（反導數），而並不在如下的定義中可積。例如函數

是

的不定積分，但是f(x)不是實數上的可積函數。這種情況在不定積分在每個方向都有極限的時候也可能成立，例如

其導數

不是從1到無窮可積的。積分區間不是無窮的時候也會出現這種情況，譬如不定積分

其導數

不是從0到1可積的。（無論f(x)在0點取何值，它都是在該點不連續的，而F'(0)無定義，所以微積分基本定理在[0, 1]上不適用。） ^[1] 

給定集合X及其上的σ-代數σ和σ上的一個測度，實值函數f:X→R是可積的如果正部f和負部f都是可測函數並且其勒貝格積分有限。令

為f的"正部"和"負部"。如果f可積，則其積分定義為

對於實數p≥ 0，函數f是p-可積的如果|f|是可積的；對於p= 1，也稱絕對可積。（注意f(x)是可積的當且僅當|f(x)|是可積的，所以"可積"和"絕對可積"在勒貝格意義下等價。）術語p-可和也是一樣的意義，常用於f是一個序列，而μ是離散測度的情況下。

這些函數組成的L空間是泛函分析研究中的主要對象之一。

泛函分析（英語：Functional Analysis）是現代數學分析的一個分支，隸屬於分析學，其研究的主要對象是函數構成的函數空間。泛函分析歷史根源是由對函數空間的研究和對函數的變換（如傅立葉變換等）的性質的研究。這種觀點被證明是對微分方程和積分方程的研究中特別有用。

使用泛函這個詞作為表述源自變分法，代表作用於函數的函數，這意味着，一個函數的參數是函數。這個名詞首次被雅克·阿達馬在1910年使用於這個課題的書中。是泛函分析理論的主要奠基人之一。然而，泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利數學家和物理學家維多·沃爾泰拉（Vito Volterra）介紹。非線性泛函理論是由雅克·阿達馬的學生繼續研究，特別是莫里斯·弗雷歇（Maurice Fréchet）可和列維（Levy）。雅克·阿達馬還創立線性泛函分析的現代流派，並由弗裏傑什·里斯和一批圍繞着斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）的波蘭數學家羣體進一步發展。

從現代觀點來看，泛函分析研究的主要是實數域或複數域上的完備賦範線性空間。這類空間被稱為巴拿赫空間，巴拿赫空間中最重要的特例被稱為希爾伯特空間，其上的範數由一個內積導出。這類空間是量子力學數學描述的基礎。更一般的泛函分析也研究Fréchet空間和拓撲向量空間等沒有定義範數的空間。

泛函分析所研究的一個重要對象是巴拿赫空間和希爾伯特空間上的連續線性算子。這類算子可以導出C*-代數和其他算子代數的基本概念。 ^[2] 

一個實變或者復變量的實值或者復值函數是在區間上平方可積的，如果其絕對值的平方在該區間上的積分是有限的。所有在勒貝格積分意義下平方可積的可測函數構成一個希爾伯特空間，也就是所謂的L空間，幾乎處處相等的函數歸為同一等價類。形式上，L是平方可積函數的空間和幾乎處處為0的函數空間的商空間。

這在量子力學上很有用，因為波函數必須在空間上平方可積才能從理論中得到物理可能解。

在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（英語：wave function）來描述。薛定諤方程設定波函數如何隨着時間流逝而演化。從數學角度來看，薛定諤方程乃是一種波動方程，因此，波函數具有類似波的性質。這説明了波函數這術語的命名原因。

波函數

是一種復值函數，表示粒子在位置

、時間

的概率幅，它的絕對值平方

是在位置

、時間

找到粒子的概率密度。以另一種角度詮釋，波函數

是“在某時間、某位置發生相互作用的概率幅”。

波函數的概念在量子力學裏非常基礎與重要，諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑，都源自於波函數。 ^[3]