C*-代數

伴隨（adjoint）：在泛函分析中，希爾伯特空間中的每個線性算子有一個相應的伴隨算子。算子的伴隨將方塊矩陣的轉置共軛推廣到（可能是）無窮維的情形。如果我們將希爾伯特空間上的算子視為“廣義複數”，則一個算子的伴隨起着一個複數的共軛的作用。一個算子

的伴隨常常也稱為埃爾米特伴隨（Hermitian adjoint），記作

或

（後者尤其用於狄拉克符號記法）。定義連續有界算子

（對於線性算子，連續必有界），若

滿足對全體

，有

，可得

（即

的伴隨是連續線性算子

），此時便稱

為埃爾米特（物理中譯作“厄米”）或自伴（self-adjoint）。在某種意義下，這種算子起着實數（等於它們的複共軛）的作用。它們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。

對合（involution）：逆函數等於自身的函數，即

或

。

一般認為 C*-代數主要應用於量子力學中可觀測量的模型代數中。這方面的研究始於 1933 年左右，沃納·海森伯（Werner Heisenberg）創立的矩陣力學，以及帕斯庫爾·約爾當（Pascual Jordan）所研究的、更接近數學發展的形式。之後，馮·諾依曼在他一系列關於算子環的論文中嘗試建立更廣泛的框架，並將 C*-代數發展至一個高潮。這些論文可看做是一類特殊的 C*-代數，現在稱為馮·諾依曼代數（von Neumann algebra）。

1943 年前後，伊斯拉埃爾·蓋爾範德（Israel Gelfand）和馬可·奈馬克（Mark Naimark）對 C*-代數作出了抽象刻畫，使其不再需要用希爾伯特空間上的算子進行刻畫。

在當代數學研究中，C*-代數是局部緊羣的酉表示理論中的重要工具，同時在量子力學的代數表述中也有應用。另一個活躍的研究領域是對可分單核 C*-代數（separable simple nuclear C*-algebra）的分類，以及確定可被分類的程度。

C*-代數的一則典型示例就是復希爾伯特空間上連續線性算子的復代數

，它具有兩個附加性質：①

是算子的範數拓撲（norm topology）中的拓撲閉集；②

在取算子的伴隨運算下是封閉的。

另一類重要的非希爾伯特 C*-代數包括連續函數

的代數。 ^[4] 

“C*-代數”參考書(2張)

以下為 Gelfand 和 Naimark 於 1943年給出的定義。 ^{[3]  [7]} 

C*-代數

是複數域上的巴拿赫代數及其映射

的組合（

中元素

關於對合映射 * 的像寫作

），

具有以下性質：

• 映射

為對合映射，且對於

中任一元素

：

• 對

中任意的兩個元素

,

：

• 對複數域

中任意複數

以及

中任一元素

：

• 對於

中任一元素

：

注意，前三個恆等式説明

是一個“*-代數”。最後一個恆等式稱為 C*-恆等式（C*-identity），它等價於：

。有時亦稱為 B*–恆等式。關於 C*-代數和 B*-代數背後的歷史，請參閲下面的“B*-代數與 C*-代數”部分。

C*–恆等式是一個很強的約束條件。舉例來説，C*–恆等式和譜半徑公式（spectral radius formula）可以推出 C*–範數由以下代數結構唯一確定：

C*-代數中，一個從

到

的有界線性映射

被稱為 *-同態（*-homomorphism），如果

• 對

中任意的兩個元素

,

，

• 對

中任一元素

，

就 C*-代數而言，C*-代數間的任何 *-同態

都是可縮的（contractive），即有界且範數

。此外，C*-代數間的單射 *-同態是等距的（isometric）。這些是 C*-恆等式的結果。

雙射 *-同態

稱為 C*-同態，在這種情況下，

和

稱為同態。

C. E. Rickart 於 1946 年引入術語 B*-代數 來描述滿足條件的 巴拿赫 *-代數（Banach *-algebras）：

•

對於所有 B*-代數給定的

都成立。（B*-條件）

這個條件自動暗示 *-對合是等距的，即

。因此，

，因此，一個 B*-代數也是一個 C*-代數。相反，C*-條件意味着 B*-條件。這是非平凡的，並且不需要條件

就可以證明。由於這些原因，術語 “B*-代數”在當前的術語中很少使用，並已被術語“C*-代數”所取代。

1947 年，I. E. Segal 引入 C*-代數這個術語來描述

的 閉範子代數（norm-closed subalgebra），即某些希爾伯特空間

上有界算子的空間。“C*-代數”中的“C”代表“封閉的（closed，簡稱閉的）”之意。Segal 在他的論文中將 C*-代數定義為“希爾伯特空間上有界算子的一致閉的自伴代數”。

C*-代數有許多在技術上很方便的性質。其中一些性質可以通過使用連續泛函積分或化簡為可交換C*-代數（commutative C*-algebra）來建立。在後一種情況下，我們可以利用“它們的結構完全由蓋爾範德同構（Gelfand isomorphism）決定”這一事實。

自伴元（self-adjoint element）的形式為

。形式為

的 C*-代數

的元素集合構成了一個閉凸錐（closed convex cone）。該錐體與形式為

的元素相同。此錐體的元素被認為是非負的（有時是正的，儘管這個術語與它用於 R 的元素時相沖突）。

C*-代數

的自伴元的集合自然具有偏序（partially ordered）向量空間 的結構；此序通常標記為

。在該序中，當且僅當

的譜非負時（即對一些

，當且僅當

時），

中的自伴元素

的滿足

。當

時，

中的兩個自伴的元素

和

的滿足

。

這個偏序子空間允許在 C*-代數上定義一個正線性泛函，而該 C*-代數的正線性泛函轉而又被用來定義一個 C*-代數的狀態，或是用 GNS構造（Gelfand–Naimark–Segal construction）來構造一個 C*-代數的譜。

任何 C*-代數

都有一個近似單位元（approximate identity）。事實上，

的自伴元存在一個有向族（directed family）

滿足

在

可分離的（separable）情況下，

存在一個序列（sequential）近似單位元。更一般地説，當且僅當

包含一個嚴格正元素，即一個正元素

使得

在

中稠密（dense）時，

才會有一個序列近似單位元。

利用近似單位元，可證明在自然範數（natural norm）下，C*-代數模掉一個閉真雙側理想（closed proper two-sided ideal）後的代數商（algebraic quotient）仍是 C*-代數。

同理，C*-代數的閉雙側理想本身也是 C*-代數。

如果將

上的

矩陣視為歐幾里德空間

上的算子，並對矩陣使用算子範數 ||·||，則矩陣的代數

成為一個 C*-代數。對合由共軛轉置給出。更一般地，我們可以考慮矩陣代數的有限直和。事實上，所有作為向量空間的 有限維C*-代數 都是這種形式，最多彼此同構。自伴這個要求意味着 有限維C*-代數 都是半單的，由此可以推導出下述阿廷-韋德伯恩型（Artin-Wedderburn type）的定理：

每個 C*-代數

（以一種非典範方式）同構於全矩陣代數（full matrix algebra）

。指標

上的有限族（finite family）由

給出，稱為

的維數向量（dimension vector）。該向量唯一地決定了 有限維C*-代數 的同構類。若使用 K-理論的語言就是：該向量是

的

羣的正錐。

物理中偶爾會將 有限維C*-代數 稱為 ^†-代數（^†-algebra），或者更明確地説，閉^† 代數（^†-closed algebra）。劍標（dagger）† 之所以會用於稱呼 有限維C*-代數，是因為物理學家通常用這個符號來表示埃米爾特伴隨（Hermitian adjoint，物理上譯作“厄米伴隨”，數學家通常用星號 * 表示埃米爾特伴隨），而且通常不擔心與無限維數相關聯的一些微妙之處。†-代數在量子力學，尤其是量子信息科學中表現突出。

近似有限維C*-代數（approximately finite dimensional C*-algebra）是 有限維C*-代數 的一則直接推廣。

C*-代數的一則典型示例就是定義在復希爾伯特空間

上的有界（等價於連續）線性算子的代數

；這裏，

表示算子

的伴隨算子。事實上，對於一個適當的希爾伯特空間

，每個 C*-代數

都 *-同構於

的閉範伴隨閉子代數（norm-closed adjoint closed subalgebra）；這就是蓋爾範徳-奈馬克定理（Gelfand–Naimark theorem）的內容。

設

是一個可分離的無限維希爾伯特空間。

上的緊算子的代數

是

的一個範數閉子代數（norm closed subalgebra）。它在對合下也是閉的，因此它是一個 C*-代數。緊算子的 C*-代數的具體刻畫類似於有限維C*-代數的韋德伯恩定理（Wedderburn’s theorem）:

定理：如果

是

的 C*-子代數，則存在希爾伯特空間

滿足

，其中，（C*-）直和由笛卡爾積

的元素

組成，且

。

雖然

沒有單位元，但可以推導出

的一個序列近似單位元。具體來説，

同構於平方可和序列（square summable sequence）的空間

，我們可以假設

。對於每個自然數

，設

是

的序列的子空間，其在指標

時為零；並設

為投影到

上的正交投影。序列

是

的一個近似單位元。

是

的一個雙側閉理想。對於可分離的希爾伯特空間，該理想唯一。

模掉

後的商為卡爾金代數（Calkin algebra）。

設

是一個局部緊的豪斯多夫空間（Hausdorff space）。

上的復值連續函數空間

在無窮遠處為零（這裏的無窮遠基於局部緊性定義），該空間在點態乘法（pointwise multiplication，或譯逐點乘法）和點態加法下形成一個可交換 C*-代數（commutative C*-algebra）

，對合為點態共軛。當且僅當

為緊的時，

有一個乘法單位元。和任何 C*-代數一樣，

具有一個近似單位元。在

這種情形下，我們立刻就能得到：考慮

的緊子集的有向集（directed set），並對每個緊

，設

為緊支集（compact support）的函數，其在

上恆等於 1。用於局部緊豪斯多夫空間的蒂茨擴張定理（Tietze extension theorem）證明了這些函數的存在性。任何這樣的函數序列

都是近似單位元。

蓋爾範德表示（Gelfand representation）指出：每個可交換 C*-代數都 *-同構於代數

，其中

是具有弱* 拓撲（weak* topology）的特徵標空間。此外，如果

同構於 C*-代數

，則

和

同胚（homeomorphic）。這種刻畫是非交換拓撲和非交換幾何的動機之一。

給定一個具有近似單位元的巴拿赫 *-代數

，存在一個唯一的 C*-代數

（最多彼此 C*-同構），且從

到

的 *-態射

是萬有的（universal，有時譯作“泛的”），也就是説，每個其他的連續 *-態射

因子可以通過

唯一確定。代數

稱為 巴拿赫 *-代數

的 C*-包絡代數（C*-enveloping algebra）。

特別重要的是局部緊羣

的 C*-代數，它被定義為

的羣代數的包絡 C*-代數（enveloping C*-algebra）。在

為非阿貝爾的情形下，

的 C*-代數為

的一般調和分析提供了表述語言。特別地，局部緊羣的對偶被定義為 羣C*-代數（group C*-algebra）的本原理想空間（primitive ideal space）。參見 C*-代數的譜。

馮·諾依曼代數是希爾伯特空間上有界算子的 *-代數，在 20 世紀 60 年代以前被稱為 W*-代數，是一類特殊的 C*-代數。相對於 C*-代數在算子範數下是閉的，馮·諾依曼代數要求在比範數拓撲還弱的弱算子拓撲（weak operator topology）中仍是閉的。

Sherman-Takeda 定理表明，任何 C*-代數都有一個泛包絡（universal enveloping）W*-代數，使得任何 W*-代數的同態都可以通過它分解。 ^[1-2] 

當且僅當，對於

的所有非退化表示（non-degenerate representation）

，馮·諾依曼代數

（即

的二次交換（bicommutant））是第Ⅰ類馮·諾依曼代數時，C*-代數

是第Ⅰ類。事實上，只需考慮到因子表示（factor representation，即表示

）是

的一個因子就足夠了。

當且僅當，一個局部緊羣的 羣 C*-代數 是第Ⅰ類時，我們稱這個局部緊羣是第Ⅰ類的。

然而，如果一個 C*-代數具有非第Ⅰ類表示，那麼根據 詹姆斯·格利姆（James Glimm）的結果，它也具有第Ⅱ類表示和第Ⅲ類表示。因此，對於 C*-代數或局部緊羣，只有談論第Ⅰ類性質和非第Ⅰ類性質才有意義。

在量子力學、數學物理中，狄拉克-馮·諾依曼公理（Dirac-von Neumann axioms）以希爾伯特空間上的 C*-代數形式，給出了量子力學的數學表達式。它們分別由保羅·狄拉克（Paul Dirac）於 1930年在其著作《量子力學原理》中，以及約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）於 1932年在其著作《量子力學的數學基礎》中提出。 ^[5-6] 

1964 年，C*-代數方法被用於局域量子場論（local quantum field theory）的哈格-卡斯特勒公理化（Haag-Kastler axiomatization），其中，閔可夫斯基時空中的每一個開集都與一個 C*-代數相關聯。 ^[8]