緊算子

賦範空間的線性算子

稱為緊算子，若

為相對緊集。 ^[2] 

有限維可分希爾伯特空間

上 所有緊算子的集合

是

的閉雙邊理想，因此是一個C*代數。 ^[3] 

緊算子的譜為

的可數子集，且0為其唯一聚點。 ^[3]  緊算子的譜的任何非零點都是本徵值，對應的本徵空間為有限維向量空間。 ^[5] 

緊算子為有界線性算子。

設N∈

為正規算子，則0∈σ(N)，且σ(N)若非有限集，則為{0,λ₁,λ₂,...}，其中(λ_n)為互異的收斂於0的複數序列，且對σ(N)中所有非零元λ，H_λ={ξ∈H:Nξ=λξ}為非零的有限維空間。

希爾伯特-施密特算子的集合為希爾伯特空間，且組成

的理想。

設T為復巴拿赫空間E的緊算子，則dimker(1-T)=dimcoker(1-T)。 ^[4] 

緊算子是一類重要的有界算子，它最接近於有限維空間上的線性算子。

設X,Y是賦範線性空間，A是X到Y的連續算子。如果A把定義域中任何有界集映射成Y中的列緊集，則稱A是緊算子，或全連續算子。

緊算子的Schatten-馮·諾伊曼理想為

，滿足Tr(|T|^p)<∞。 ^[6] 

緊算子概念是希爾伯特(Hilbert,D.)於1906年引入的。

1917年里斯(Riesz,F.)對緊算子進行了系統的研究。

1930年紹德爾(Schauder,J.P. )證明了，若X,Y都是巴拿赫空間，A∈(X→Y)，則A是緊算子的充分必要條件是它的共軛算子A*是緊的。如果Y是巴拿赫空間，則從X到Y的緊線性算子全體𝒦(X→Y)是巴拿赫空間𝓑(X→Y)的閉線性子空間。當Y或X的共軛空間X*是具有可數基的巴拿赫空間時，X到Y的緊線性算子可用有限秩線性算子來逼近。

對一般巴拿赫空間未必如此，恩夫洛(Enflo,P.)曾舉出反例説明這一點。 ^[1] 

在數學中，線性映射（也叫做線性變換或線性算子）是在兩個線性空間之間的函數，它保持向量加法和標量乘法的運算。術語“線性變換”特別常用，尤其是對從向量空間到自身的線性映射（自同態）。