局域量子場論

設 Mink 是閔可夫斯基空間

的開子集的範疇，其包含映射（inclusion map）為態射（morphism）。我們給定一個從 Mink 到含幺（unital）C*-代數的範疇 uC*-alg 的協變函子（covariant functor）

，其使得 Mink 中的每個態射都映射到 uC*-alg 中的某個單態射（monomorphism），即滿足保序性（isotony）。

龐加萊羣（Poincaré group）連續作用於 Mink。此作用（action）存在一個拉回（pullback），該拉回在

的範數拓撲中是連續的，即滿足龐加萊協變性（Poincaré covariance）。

閔可夫斯基空間具有一個因果結構（causal structure）。如果開集

位於開集

的因果補集中，那麼映射的像

和

對易，即滿足類空對易性（spacelike commutativity）。如果

是一個開集

的因果補集，那麼

是一個同構，即滿足本原因果性（primitive causality）。

量子系統的態（state）用 C*-代數表述，其為一個具有單位範數（unit norm）的正線性泛函（positive linear functional）。如果

上有一個態，我們可以通過網單態射（net monomorphism）對每個開集求分跡（partial trace）來得到與

相關聯的態。開集上的態形成了一個預層（presheaf）結構。

根據 GNS構造（Gelfand–Naimark–Segal construction），對於每個態，我們可以關聯

的一個希爾伯特空間表示。純態（pure state）對應不可約表示，混態（mixed state）對應可約表示。每一種不可約表示（等價地）被稱為超選擇扇區（superselection sector）。假設存在一種稱為真空的純態，我們用一個與網（net）的龐加萊協變性相容的龐加萊羣酉表示來表示與上述真空相關聯的希爾伯特空間，那麼如果我們此時來看龐加萊代數的話，就會發現關於能量-動量（對應於時空平移）的譜位於正光錐（positive light cone）上，且在正光錐內，而這片區域就是真空扇區。

最近，該方法被進一步運用，比如：彎曲時空量子場論（quantum field theory in curved spacetime）的代數版本。的確，局域量子物理的觀點特別適合於將重正化流程推廣到彎曲背景下的量子場。關於黑洞存在下的量子場論已經得到了幾個嚴格結果。