範數拓撲

範數拓撲是賦範線性空間中由範數導出的拓撲。

在此拓撲下，收斂的概念即是依範數收斂。對有界線性算子空間的情形，算子範數拓撲有時也稱為一致拓撲。 ^[1] 

設X是一個非空集合，X的冪集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。當且僅當：

1．X和空集{}都屬於T；

2．T中任意多個成員的並集仍在T中；

3．T中有限多個成員的交集仍在T中。

稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T），稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。

範數，是具有“長度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，範數是一個函數，是矢量空間內的所有矢量賦予非零的正長度或大小。半範數可以為非零的矢量賦予零長度。

定義範數的矢量空間是賦範矢量空間；同樣，定義半範數的矢量空間就是賦半範矢量空間。

(normed linear space)

賦範線性空間是在線性空間中引進一種與代數運算相聯繫的度量，即由向量範數誘導出的度量。賦範線性空間稱為Banach空間，是指由範數導出的度量是完備的。

定義：設

是線性空間，函數

稱為

上定義的一個範數，如果滿足：

（1）

當且僅當

；

（2）對任何

及

，

；

（3）對任意

，

。

稱二元體

為賦範線性空間。