數學物理

數學物理以研究物理問題為目標的數學理論和數學方法。它探討物理現象的數學模型，即尋求物理現象的數學描述，並對模型已確立的物理問題研究其數學解法，然後根據解答來詮釋和預見物理現象，或者根據物理事實來修正原有模型。“數理”也叫“數學物理”，是數學和物理學的交叉領域，指應用特定的數學方法來研究物理學的某些部分。對應的數學方法也叫數學物理方法。

1、微分方程的解算：很多物理問題，比如在經典力學和量子力學中求解運動方程，都可以被歸結為求解一定邊界條件下的微分方程。因此求解微分方程成為數學物理的最重要組成部分。相關的數學工具包括：

2、場的研究（場論）：場是現代物理的主要研究對象。電動力學研究電磁場；廣義相對論研究引力場；規範場論研究規範場。對不同的場要應用不同的數學工具，包括：

3、對稱性的研究：對稱性是物理中的重要概念。它是守恆律的基礎，在晶體學和量子場論中都有重要應用。對稱性由對稱羣或相關的代數結構描述，研究它的數學工具是：

4、作用量（action）理論：作用量理論被廣泛應用於物理學的各個領域，例如分析力學和路徑積分。相關的數學工具包括：

問題的研究一直和數學密切相關。作為近代物理學始點的牛頓力學中，質點和剛體的運動用常微分方程來刻畫，求解這些方程就成為牛頓力學中的重要數學問題。這種研究一直持續到今天。例如天體力學中的三體問題和各種經典的動力系統都是長期研究的對象。在18世紀中，牛頓力學的基礎開始由變分原理所刻畫，這又促進了變分法的發展，並且到後來，許多物理理論都以變分原理作為自己的基礎。從18世紀以來，在連續介質力學與傳熱學和電磁場理論中，歸結出許多偏微分方程，通稱數學物理方程（也包括有物理意義的積分方程、微分積分方程和常微分方程）。

直到20世紀初期，數學物理方程的研究才成為數學物理的主要內容。此後，聯繫於等離子體物理、 固體物理、 非線性光學、空間技術、核技術等方面的需要，又有許多新的偏微分方程問題出現，例如孤立子波、間斷解、分歧解、反問題等等。它們使數學物理方程的內容進一步豐富起來。複變函數、積分變換、特殊函數、變分法、調和分析、泛函分析以至於微分幾何、代數幾何都已是研究數學物理方程的有效工具。

從20世紀開始，因為物理學內容的更新，數學物理也有新的面貌。伴隨着對電磁理論與引力場的深入研究，人們的時空觀念發生了根本的變化，這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間(用現代術語説，洛倫茨流形)的幾何學成為愛因斯坦狹義相對論和廣義相對論所必需的數學理論，許多物理量以向量、張量和旋量作為表達形式。在探討大範圍時空結構時，還需要整體微分幾何。

量子力學和量子場論的產生，使數學物理添加了非常豐富的內容。在量子力學中物質的態用波函數刻畫，物理量成為算子，測量到的物理量是算子的譜。在量子場論中波函數又被二次量子化成為算子，在電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用中描述粒子的產生和消滅。因此，必須研究各種函數空間的算子譜、函數的譜分析和由算子所形成的代數。同時還要研究微擾展開和重正化（處理發散困難）的數學基礎。此外，用非微擾方法研究非線性場論也是一個令人注目的課題。 物理對象中揭示出的多種多樣的對稱性，使得羣論顯得非常有用。晶體的結構就是由歐幾里得空間運動羣的若干子羣給出。正交羣和洛倫茨羣的各種表示對討論具有時空對稱性的許多物理問題有很重要的作用。基本粒子之間,也有種種對稱性,可以按羣論明確它們的某些關係。對基本粒子的內在對稱性的研究更導致了楊－米爾斯理論的產生。它在粒子物理學中意義重大，統一了弱相互作用和電磁相互作用的理論，提供了研究強子結構的工具。這個理論以規範勢為出發點，而它就是數學家所研究的纖維叢上的聯絡（這是現代微分幾何學中非常重要的一個概念）。有關纖維叢的拓撲不變量也開始對物理學發揮作用。

微觀的物理對象往往有隨機性。在經典統計物理學裏需要對各種隨機過程的統計規律有深入的研究。

數學物理（mathematical physics）

簡介（用數學來解決物理問題）：

數學和物理學的交叉領域，指應用特定的數學方法來來研究的物理學的某些部分。對應的數學方法也叫數學物理法。

數學和物理學的發展歷史上一直密不可分。許多數學理論是在物理問題的基礎上發展起來的；很多數學方法和工具通常也只在物理學中找到實際應用。

以研究物理問題為目標的數學理論和數學方法。它探討物理現象的數學模型，並針對模型已確立的物理問題研究其數學解法，此解釋和預見物理現象，或者根據物理事實來修正原有模型。物理問題的研究一直和數學密切相關。在牛頓力學中，質點和剛體的運動用常微分方程來描述，求解這些方程就成為牛頓力學中的重要數學問題。18世紀以來，在連續介質力學、傳熱學和電磁場理論中，歸結出許多偏微分方程，通稱數學物理方程。20世紀初，數學物理方程的研究開始成為數學物理的主要內容。此後基於等離子體物理、固體物理、非線性光學、空間技術、核技術等方面的需要，又有許多新的偏微分方程問題出現，如孤立子波，間斷解，分歧解，反問題等，它們使數學物理方程的內容進一步豐富起來。20世紀以來，由於物理學內容的更新，數學物理也有了新的面貌。伴隨着對電磁理論和引力場的深入研究，人們對時空觀念發生了根本的變化。這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間的幾何學成為愛因斯坦狹義相對論和廣義相對論所必需的數學理論。在探討大範圍時空結構時，還需要整體微分幾何。量子力學和量子場論的產生，使數學物理添加了非常豐富的內容。物理對象中揭示出的多種多樣的對稱性使得羣論顯得非常有用。晶體的結構就是由歐幾里得空間運動羣的若干子羣給出的。正交羣和洛倫茲羣的各種表示對討論具有時空對稱性的許多物理問題有很重要的作用。對基本粒子相互作用的內在對稱性的研究更導致了楊-米爾斯理論的產生。這個理論以規範勢為出發點，而它就是數學家所研究的纖維叢上的聯絡。有關纖維叢的拓撲不變量也開始對物理學發揮作用。微觀的物理對象往往有隨機性。在經典的統計物理學中需要對各種隨機過程的統計規律有深入的研究。隨着電子計算機發展，數學物理裏的許多問題能通過數值計算來解決。由此發展起來的計算力學、計算物理都發揮着越來越大的作用。科學的發展表明，數學物理的內容越來越豐富，解決物理問題的能力也越來越強。數學物理的研究對數學也有很大的促進作用，它是產生數學的新思想、新對象、新問題以及新方法的一個源泉。

對一個物理問題的處理，通常需要三個步驟： 一、利用物理定律將物理問題翻譯成數學問題；

二、解該數學問題；

三、將所得的數學結果翻譯成物理，即討論所得結果的物理意義。

因此，物理是以數學為語言的，而"數學物理方法"正是聯繫高等數學和專業課程的重要橋樑。本課程的重要任務就是教會學生如何把各種物理問題翻譯成數學的定解問題，並掌握求解定解問題的多

數學物理方法是物理系本科各專業學生必修的重要基礎課，也是海洋科學類、力學類、電子信息科學類、材料科學類等專業的重要公共基礎課。本課程定位於在高等數學和普通物理的基礎上，以講授古典數學物理中的常用方法為主，適當介紹In recent years,的新發展，為後繼有關專業課程作準備。所以，本課程受到了廣大學生的高度重視 ^[1]  。

隨着電子計算機的發展，數學物理中的許多問題可以通過數值計算來解決，由此發展起來的“計算力學”和“計算物理”都發揮着越來越大的作用。計算機直接模擬物理模型也成為重要的方法。此外各種漸近方法也繼續獲得發展。

科學的發展表明，數學物理的內容將越來越豐富，解決物理問題的能力也越來越強。其他各門科學，如化學、生物學、地學、經濟學等也廣泛地利用數學模型來進行研究。數學物理中的許多方法和結果對這些研究發揮了很好的作用。

在工程科學中，處處需要精確地求解物理問題，所以數學物理對於技術進步也有非常重要的意義。此外，數學物理的研究對數學有很大的促進作用。它是產生數學的新思想、新對象、新問題以及新方法的一個源泉。