閔科夫斯基空間

愛因斯坦狹義相對論的時空模型。物理學上稱為閔科夫斯基時空，它是德國數學家H.閔科夫斯基為適應狹義相對論的需要而提出來的。一般説來，n 維的閔科夫斯基空間R

是n維歐氏空間E的一個變種，和n維歐氏空間一樣，R

的基本幾何元素是點和向量,其中照樣有直線和各種不同維數的平面等幾何圖形。狹義相對論中採用的是四維時空R。

R

的任何兩個向量l，m也有數量積l·m，一個向量也有其長度的平方l=l·l，從而也有向量的正交性的概念,但和歐氏空間E的基本區別在於，在R

中，若l 是非零向量，l不常常是正的。更具體地説，在n 個相互正交的線性無關的單位向量組(e1,e2,…,en)中,有n-1個向量的長度平方為 +1，有一個向量的長度平方為-1。設其中e1,e2,…,en-1的長度平方為+1，而en的長度平方為-1,這樣的(e1,e2,…,en)就稱為標準正交基，參考於這一組基，向量l 和m可分別表示為

和

，

則有

，

。

長度平方為正的向量稱為類空向量，長度平方為負的向量稱為類時向量。此外，還有長度平方為零的向量，稱為零長向量，或類光向量。以零長向量為方向的直線稱為“光線”，過一點P 的光線的全體構成一個二次錐面，稱為光錐。

在閔科夫斯基空間中,把標準正交基{e1,e2,…,en}變到另一組標準正交基的線性變換A稱為洛倫茨變換,洛倫茨變換所成的羣稱為洛倫茨羣，記為O(n-1,1)，參考於標準正交基,洛倫茨羣的元素可用n×n陣A=(αij)表示，這裏αij是由

所定義的，如記

，

那麼洛倫茨羣的元素所相應的陣滿足 AJA=J。

這裏A是A 的轉置，所以洛倫茨羣O(n-1, 1)也指滿足AJA=J 的n×n陣A的全體,一組標準正交基添上一個定點作為原點就構成R-1,1的一個洛倫茨標架,參考於洛倫茨標架,可以得出R

中的點P 的座標(x1,x2,…,xn)，變換

稱為非齊次的洛倫茨變換。據此，點P 的座標從（x1，x2,…,xn）變為(x姈,x娦,…,xń)。它也可解釋為同一標架下的點的變換。

過一定點(

1,

2,…,

4)的光錐的方程是

在任一非齊次的洛倫茨變換下，光錐仍變為光錐。

和歐氏空間E一樣，R

有很豐富的幾何內容,由於O(n-1，1)比正交羣O(n)複雜得多，R

的幾何學比E的幾何學複雜得多。

在古典的時空觀念中，時間和空間是分立的，現實空間的模型是三維的歐幾里得空間，時間是一維的數軸，兩個事件的同時性是絕對的，也就是説，不論用什麼方式去測量，兩個事件的同時性是不可改變的，這種時空觀念和牛頓力學十分協調，但和J.C.麥克斯韋的電磁場理論卻不相協調,這因為，如令光速為常數,麥克斯韋方程是在洛倫茨變換下不變的，但洛倫茨變換會變更兩個不在同一地點發生的事件的同時性，米切爾森－莫里實驗指示了光速不因光源的運動速度而變化，使人們不得不去修正牛頓力學而導致了愛因斯坦狹義相對論的出現。

在狹義相對論中，採取四維的閔科夫斯基時空為現實時空的模型，對於一個固定的慣性測量系統（即洛倫茨標架）來説，(x1,x2,x3,x4)表示一個時空點，説明一個事件在何時何地發生：x1,x2,x3表示位置，x4=сt表示時間（這裏c為光速,是不變的正常數），在一點的光錐把以這點為始點的向量分為五類（見表

）。

粒子的運動可由R中的曲線表示,稱為世界線,它的切向量必須不是類空的，可規定它是指向未來的向量，如果它屬於第Ⅰ類，則它的速度小於光速，如果它屬於第Ⅱ類，它的速度等於光速。它不可能是屬於第Ⅴ類的，意義是：粒子運動的速度不能大於光速。另一面，如果P 與P1是R中兩點，若向量捗屬於第Ⅰ或第Ⅱ類，則P1必為P 的未來。若捗屬於第Ⅲ、Ⅳ類，則P1必為P的過去。若

屬於第Ⅴ類,則必存在一個洛倫茨標架,使P 和P1具同時性。

使Л4的符號不變的洛倫茨變換（非齊次）稱為正常的。狹義相對論要求物理定律在正常洛倫茨變換下為不變的，J.C.麥克斯韋的電磁場理論已適合這個要求，而I.牛頓的經典力學作了修正之後，也能符合這個要求。

由於運用了閔科夫斯基空間R作為時空模型，愛因斯坦狹義相對論就有了很好的敍述方式，對於現代物理學的發展起了很大的作用。有了閔科夫斯基時空之後，愛因斯坦又進一步研究了引力場理論,即廣義相對論,從而引入洛倫茨流形的概念，閔科夫斯基時空是曲率張量為0的洛倫茨流形,因而閔科夫斯基時空與歐氏空間均為平坦空間，而不是彎曲的。