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預層
鎖定
預層(presheaf)一種與拓撲空間的開集族相聯繫的羣與同態的族。
- 中文名
- 預層
- 外文名
- presheaf
- 所屬學科
- 代數幾何
- 定 義
- 和一個層相似但可能不可以粘起來
- 相關術語
- 層
預層定義
一個X上的C預層F就是從TopX到C的反變函子。
預層相關概念
若F是一個X上的C預層,而U是一個X的開子集,則F(U)中的元稱為F在U上的瓣。F(U)也常記為Γ(U,F)。
預層間的態射被定義為函子間的自然變換,這使得C上所有預層構成了一個範疇Ĉ。到Ĉ的函子常被稱為Profunctor。
預層空集
不同F(∅)定義的預層F之間是同構的,故定義F只需考慮非空集U,並可將F(∅)統一定義為C中的終對象。
[2]
例如,若F為集預層,則F(∅)為單元集;若F為羣預層,則F(∅)為一階羣;若F為R模預層,則F(∅)為零模。
[3]
預層具體定義
- 對於每個X中的開集,給定C中一個對象F(U)
- 對於每個開集之間的包含關係V⊂U,給定範疇C中的一個態射resU,V:F(U) →F(V)。這稱為限制態射。該限制態射滿足以下兩點性質:
- 對於X中每個開集U,我們有resU,U= idF(U),也即,從U到U的限制是F(U)上的單位態射。
- 給定X中任何三個開集W⊂V⊂U,我們有resV,W○ resU,V= resU,W,也即從U到V再到W的限制和從U直接到W的限制相同。
預層性質
(1)一個局部小范疇C可以通過米田嵌入Yc完全且忠實地嵌入Set值預層Ĉ,它將C的每個對象A送到態射函子 C(-,A)。
(2)預層Ĉ(精確到範疇等價)是C的自由歸納極限完備化。