GNS構造

對於有單位元的巴拿赫*代數A上正線性泛函ρ，必存在A在希爾伯特空間H上的以ξ為循環向量的循環表示π，而且還滿足ρ(x)=(π(x)ξ,ξ)，這就是GNS構造。 ^[2] 

態與GNS構造是C*代數中最重要的部分，並且它們還有重要的物理意義。如果C*代數相應於量子系統的可觀測量代數，那麼態就是量子系統的量子態，而公式ρ(x)=(π(x)ξ,ξ)恰為觀察量x在狀態ρ中的期望值。 ^[1] 

由此可知，必存在希爾伯特空間H和ψ，使ψ是R在H上的忠實表示。

巴拿赫*代數的表示是C*代數到某希爾伯特空間H上的算子代數的同態。

設R是有單位元e的巴拿赫*代數，H是希爾伯特空間。若存在R到H上的有界線性算子全體𝓑(H)中的保單位元的*同態ψ，則稱ψ是R在H上的表示。

如果ψ是單射，則稱ψ是忠實表示。如果存在ξ∈H，使{ψ(x)ξ|x∈R}在H中稠密，則稱ψ是循環表示，而相應的ξ稱為循環向量。忠實表示必是保範的。