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(數學名詞)

鎖定
態是博雷爾概率測度的非交換對應。
中文名
外文名
state
所屬學科
泛函分析

定義

設A為的巴拿赫*代數。則是A的一個正線性泛函ρ,滿足
[1] 
若A含歸一化單位元1,則最後的條件相當於
[3] 

量子力學

巴拿赫*代數的態源於C*代數與量子力學的關係。 [1] 
經典力學中,系統的可觀測量是相空間M上的函數f:M→
,則在相空間某個區域找到系統的概率,由概率測度μ給出,則系統處於態μ時,可觀測量f的期望值為
設一個量子系統的可觀測量的集合生成的算子代數A,A是一個C*代數。A的一個元(可觀測量)在態φ的期望值為φ(a)。 [3] 

性質

設A為含單位元的巴拿赫*代數。
設ρ為A的線性泛函,若
,則ρ為態。 [2] 
給定A的任意元x,都有態ρ滿足
。而根據GNS構造,由態ρ可得GNS對(πxx),取π=⊕xπx,即得A在希爾伯特空間上的表示。故根據Gelfand-Naimark定理,任何含單位元的C*代數都同構於算子C*代數。該定理也可以推廣到不含單位元的情況。 [1] 

相關概念

若a≥0與ρ(a)=0可推出a=0,則稱ρ為忠實態
若A為C*代數,ρ為A的態,則A的一個歸一化的為一個非平凡可跡態。
態空間的極值點稱為純態,其餘稱為混合態 [3] 
參考資料
  • 1.    William Arveson.譜理論簡明教程:Springer,2002
  • 2.    William Arveson.C*代數入門:Springer,1976
  • 3.    Jose M. Gracia-Bondia, Joseph C. Varilly, Hector Figueroa.Elements of Noncommutative Geometry:Springer,2001