循環表示

設A為巴拿赫*代數，A在希爾伯特空間H上的一個表示π稱為循環表示，若存在H中向量ξ，滿足π(A)ξ為H的稠子集。 ^[2] 

循環表示是一類簡單的酉表示。

設 (π，H) 是局部緊羣G的一個酉表示，若存在

，使得

生成的子空間在H中是稠密的，則稱π為循環表示，v稱為π的循環向量。

任一酉表示是循環表示的直和。 ^[1] 

(unitary representation of topological group)

拓撲羣的酉表示是拓撲羣的一類重要表示。局部緊、豪斯多夫羣 G 的酉表示是G有一個希爾伯特空間 H 上的表示 𝞹 ，而且滿足：對任意 x∈G，𝞹(x) 是 H 的酉算子。當 G 為緊羣時，對 G 的任一有限維表示 (𝞹,V) 都可以在 V 中引入新內積

使𝞹 成為酉表示，其中

可取 V 中任一個埃爾米特內積。因此，緊羣的表示可以歸結為酉表示。

羣的酉表示是聯繫羣論與其它眾多數學分支的重要工具，其中就包括泛函分析尤其是𝐶*-代數理論。自20世紀20年代起，該理論首先被廣泛應用於量子力學領域。作為該領域的先驅之一，George Mackey在20世紀40-60年代發展了酉表示的一般理論，使其研究對象擴展到一般的羣𝐺而不是僅僅針對某些應用的特殊羣。