拉回

給定範疇C與J=

與對角函子Δ:C→C^J，f:b→a與g:d→a為C中態射，則拉回為從Δ到<f,g>的泛態射，其對應的終對象為

。 ^[2] 

對範疇 C 中的一對態射

的拉回是一對態射

滿足

，並且具有泛性質：對C中任意態射

，並且滿足

，存在唯一的態射

，滿足

，即有交換圖表如圖1所示。 ^[1] 

在集合範疇中，f與g的拉回是集合

X×zY={(x，y)∈X×Y∣f(x)=g(y)}

以及投影映射的限制與映到X×_ZY。

這個例子啓發另一種方式考慮拉回：作為態射fop₁,gop₂:X×Y→Z的等化子，這裏X×Y是X和Y的二元積

而p₁與p₂是自然投影。這説明拉回在任何具有二元積和等化子的範疇中存在。事實上，由極限存在定理，在具有有終對象、二元積和等化子的範疇中所有有限極限存在。

在任何具有終對象Z的範疇中，拉回X×_ZY恰好是普通積X×Y。

設V與W為線性空間，給定g∈W*，線性映射f:V→W誘導出映射h∈V*為h(v)=g○f(v)，故有誘導映射f*:W*→V*，h=f*g稱為g在f*下的拉回，即f*g=g○f。

<f*ω,V>=<ω,f_*V>。 ^[3] 

給定纖維叢ξ=π:E→B，其纖維為F，結構羣為G。給定一個連續映射f:X→B，X×_BE為其拉回，X×_BE是X上的纖維叢，稱為ξ沿f的拉回叢，伴隨的交換圖表是纖維叢映射。 ^[4] 

n階向量叢p:E→B沿同倫的f₀,f₁:A→B的拉回叢等價。

【push out】

對範疇 C 中的態射

的推出是一對態射

滿足

，並且具有泛性性質：對C中任意態射

，並且滿足

，存在唯一的態射

，滿足

，即有交換圖如圖2所示。