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終對象

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終對象(terminal objects)範疇論的基本概念之一指在範疇中起着特殊作用的一種對象，是始對象的對偶概念。在數學分支的類別理論中，C類的始對象是C中的對象I，使得對於C中的每個對象X，存在精確的一個態射I→X。同樣的是終對象（也稱為終端元素、終端對象）：T是終端，如果對於C中的每個對象X存在單個態射X→T。
如果一個對象既是始端，也是終端，它被稱為零對象或空對象，它是 一個零對象的類。
一個嚴格的始對象I，它的每一個態都是同構的。
中文名
終對象
外文名
terminal object
所屬學科
範疇論
別    名
終端元素
終端對象
代碼表示
T
相關名詞
始對象

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 舉例
  3. 3 屬性
  1. ▪ 存在性和唯一性
  2. ▪ 等效公式
  3. ▪ 與其他分類結構的關係
  1. ▪ 其他屬性

終對象簡介

終對象(final object)範疇論的基本概念之一指在範疇中起着特殊作用的一種對象，是始對象的對偶概念。在數學分支的類別理論中，C類的始對象是C中的對象I，使得對於C中的每個對象X，存在精確的一個態射I→X。同樣的是終對象（也稱為終端元素、終端對象）：T是終端，如果對於C中的每個對象X存在單個態射X→T。 [1-2] 
如果一個對象既是始端，也是終端，它被稱為零對象或空對象，它是一個零對象的類。
一個嚴格的始對象I，它的每一個態都是同構的。

終對象舉例

（1）空集是集合類別中的唯一始對象，每個單元素集合（singleton）是此類別中的終對象，這裏沒有零對象。 類似地，零空間是拓撲空間中唯一的始對象，拓撲空間的類別和每個一點空間是此類別中的終對象。
（2）在集合和關係的類別中，空集是唯一的始對象，唯一的終對象，因此是唯一的零對象。
（3）在（A，a）到（B，b）中的一個函數ƒ：A→B與ƒ（a）= b中，指向集合的對象是非空集合，每個元素都是零對象。 類似地，在指向拓撲空間的類別中，每個單例都是零對象。
（4）在Grp中，組的類別，任何小組都是零對象。代數也是Ab中的零對象，阿貝爾組的類別，Rng偽環的類別，R-Mod，環上的模塊類別，以及K-Vect，字段中的向量空間的類別。 有關詳細信息，請參閲零對象（代數）。 這是術語“零對象”的起源。
（5）在字段中，字段的類別，沒有始或終對象。 然而，在固定特徵的字段的子類別中，素數字段是始對象。
（6）任何部分有序的集合（P，≤）可以解釋為一個類別：對象是P的元素，並且當且僅當x≤y時，存在從x到y的單個態射。 當且僅當P具有最小元素時，該類別具有始對象； 當且僅當P具有最大元素時，它具有終對象。
（7）在方案類別中，Spec（Z）整數環的素譜是終對象。 空方案（等於零環的主頻譜）是一個始對象。

終對象屬性

終對象存在性和唯一性

始對象和終對象不需要存在於給定的類別中。 然而，如果它們確實存在，它們本質上是獨一無二的。 具體來説，如果I1和I2是兩個不同的始對象，則它們之間存在唯一的同構。 此外，如果我是一個始對象，那麼任何與我同構的對象也是一個始對象。 終對象也是如此。
對於完整的類別，存在始對象的存在定理。 具體來説，當且僅當存在C的對象的集合I（不是正確的類）和I索引族（Ki）時，（C）的任何對象X 對於一些i∈I，至少有一個態Ki→X。 [3] 

終對象等效公式

類別C中的終端對象也可以被定義為唯一空圖0→C的限制。由於空類別是空虛類別是離散類別，終對象可以被認為是空的產品（產品確實是一般為離散圖{X_i}）。同樣的，一個始對象是空圖0→C的合併，可以認為是一個空的副產品或分類總和。
因此，保留限制的任何函子將使終對象成為終對象，並且保留colimits的任何函子將使始對象成為始對象。例如，具有空閒對象的任何具體類別中的初始對象將是由空集合生成的空閒對象（由於自由函數與左側的“忘記函數”相關聯，因此保留了colimits）。
初始和終端對象也可以根據通用屬性和伴隨函子來表徵。令1是具有單個對象的離散類別（由...表示），並且令U：C→1是唯一（常數）函子為1.然後
C中的初始對象I是從·到U的普遍態射。發送給我的函子與U相連。
C中的終端對象T是從U到...的通用態射。發送給T的函子正好與U。 [4] 

終對象與其他分類結構的關係

在類別理論中的許多自然結構可以根據在適當類別中找到初始或終端對象來制定。
從對象X到函子U的通用態射可以被定義為逗號類別（X↓U）中的初始對象。 從U到X的普遍態勢是（U↓X）的終對象。
F的極限是Cone（F）中的錐體類別的終端對象。D，F的合併是來自F的錐體類別中的始對象。
函數F到集合的表示是F元素類別中的初始對象。
最終函子（分別是初始函子）的概念是對最終對象（分別是初始對象）概念的概括。

終對象其他屬性

初始或終端對象的同形異構是微不足道的：End（I）= Hom（I，I）= {idI}。
如果類別C具有零對象0，則對於C中的任何對象X和Y，唯一的組合X→0→Y是從X到Y的零態。
參考資料
  • 1.    Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. The joy of cats (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001.
  • 2.    Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
  • 3.    Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
  • 4.    This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.