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埃爾米特伴隨

數學上，特別是泛函分析中，希爾伯特空間中的每個線性算子有一個相應的伴隨算子（adjoint operator）。算子的伴隨將方塊矩陣共軛轉置推廣到（可能）無窮維情形。如果我們將希爾伯特空間上的算子視為“廣義複數”，則一個算子的伴隨起着一個複數的共軛的作用。

一個算子A的伴隨常常也稱為埃爾米特伴隨（Hermitian adjoint，以夏爾·埃爾米特命名），記作A*或A†（後者尤其用於狄拉克符號記法）。

埃爾米特伴隨有界算子

假設H是一個希爾伯特空間，帶有內積

。考慮連續線性算子A:H→H（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在惟一的連續線性算子

A*:H→H具有如下性質：

，對所有

。

這個算子A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。^[1]

可得性質：

如果我們定義A的算子範數為

則

而且有

希爾伯特空間H上有界線性算子與伴隨算子以及算子範數給出一個C*代數例子。

A的像與它的伴隨的核的關係為

有界算子A:H→H稱為埃爾米特或自伴如果A=A*這等價於

在某種意義下，這種算子起着實數（等於他們的複共軛）的作用。他們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。更多細節參見自伴算子一文。

許多重要的算子不是連續的或只定義在希爾伯特的一個子空間上。在這種情形，我們仍然能定義伴隨，在自伴算子一文有解釋。^[2]

範疇論中，方程

形式上類似地定義了伴隨函子偶性質，這也是伴隨函子得名之由來。^[3]

參考資料

1. Brezis, Haim (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (first ed.), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
2. 吳昌強, 何春, 莫明威,等. 基於伴隨矩陣的四階以下正定Hermite矩陣求逆的硬件架構及實現方法:, CN 102662918 B[P]. 2015.
3. Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006

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