里斯表示定理

給定賦範空間H中向量η，則H的對偶空間H*中連續線性泛函f可唯一表示為

該映射

是一個反線性等距同構。 ^[2] 

這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯繫：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是複數，兩者是等距反同構。如下所述，（反）同構是特別自然的。

設

是一個希爾伯特空間，令

表示它的對偶空間，由從

到域

或

的所有連續線性泛函。如果

是

中一個元素，則函數

定義為

是

的一個元素，這裏

表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言

中任何元素都能惟一地寫成這種形式。

定理：映射

是一個等距（反）同構，這就是説：

是雙射。

的範數與

的範數相等：

。

可加：

。

如果底域是

，則

對所有實數

。

如果底域是

，則

對所有複數

，這裏

表示

的復共軛。

的逆映射可以描述為： 給定

中一個元素

，核

的正交補是

的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素

，令

。則 Φ(x) = φ。

歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇在1907年發現（見參考文獻）。格雷（Gray）在評論從他認為是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的發展時説：“給定運算

，可以構造有界變差函數

，使得無論連續函數

是什麼，都有

”

在量子力學的數學處理中，這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時，每個右矢

有一個相應的左矢

，對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間，比如核空間，里斯表示定理不成立，在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。

下面的定理表示出 C_c(X) 上的正線性泛函，緊支集連續復值函數空間。下面所説的博雷爾集表示由開集生成的σ代數。

局部緊豪斯多夫空間X上一個非負可數可加博雷爾測度 μ 是正則的（regular）當且僅當

開 }.

緊 }

定理：設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對C_c(X)上任何正線性泛函ψ，X上存在唯一的正則概率測度μ使得

對所有f∈ C_c(X)。

領略測度論的一個途徑是從拉東測度開始，其可定義為

上的一個正線性泛函。這種方式由布爾巴基採取；這裏顯然假設X首先是一個拓撲空間，而不僅是一個集合。若X為局部緊空間，則可重新建立一個積分理論。

下面定理也稱為里斯-馬爾可夫定理，給出了C₀(X)的對偶空間的一個具體實現，C₀(X)由X上在無窮遠趨於零的連續函數構成。定理陳述中的博雷爾集同樣指由開集生成的 σ代數。結論與上一節類似，但不能包含在前一個結果之中。參見下面的技術性註釋。

如果μ是一個復值可數可加博雷爾測度，μ 是正則的當且僅當非負可數可加測度 |μ| 正則（上一節所定義的）。

定理：設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對 C₀(X)上任何有界線性泛函ψ，存在X上唯一正則概率測度μ使得對所有f∈C₀(X)，均有 ^[3] 

ψ 的範數作為線性泛函是 μ 的全變差（total variation），即

最後，ψ是正的當且僅當測度μ是非負的。

注：C_c(X)上任何有界線性泛函惟一延拓為C₀(X)上有界線性泛函，因為後一個空間是前者的閉包。但是C_c(X) 上一個無界正線性泛函不能延拓為C₀(X) 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論應用的情形稍微不同。 ^[1]