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等距同構
鎖定
等距同構是一個數學概念,指在度量空間之間保持距離關係的同構。幾何學中的對應概念是全等變換。
- 中文名
- 等距同構
- 外文名
- isometry
- 所屬領域
- 數理科學
- 分 類
- 正交算子、酉算子
- 應用範圍
- 實內積空間和復內積空間
- 定 義
- 在度量空間之間保持距離關係的同構
等距同構定義
令(N,ρ)、(N1,ρ1)表示兩個度量空間,如果存在一個映射φ:N→N1滿足如下條件:
1)φ為滿射;
2)ρ(x,y)=ρ1(φ(x),φ(y))(∀x,y∈N),
llSvll=lIvll.
也就是説,算子是等距同構當且僅當它保範數.例如,當λ∈F滿足Iλl=1時,λI是等距同構.更一般地,設入λ1,......,λn都是絕對值為1的標量,(e1,......,en)是V的規範正交基,S∈L(V)滿足S(ej)=λjej.對於v∈V
而且
把S作用到1式的兩端可得
根據Iλjl=1,上面最後的等式表明
比較2式和4式可得lIvll=llSvll.也就是説,S是等距同構.
若s∈L(V)是等距同構,則S是單的(因為,若Sv=0,則lIvll=llSvll=0,故v=o).於是每個等距同構都可逆.
實內積空間上的等距同構通常稱為正交(orthogonal)算子.復內積空間上的等距同構通常稱為酉(unitary) 算子.我們將採用等距同構這個術語,因此我們的結果對於實內積空間和復內積空間都可用.
[2]
等距同構相關性質與定理
定理1 (嵌入定理) 令M為一個d維空間,如果存在光滑的微分同胚φ:M→M和有二階連續導數的y:M→N,有Φ(φ,y):M→
,其中Φ(φ,y)=(y(x),y(φ(x)),y(φ²(x))),…,
), 則Φ(φ,y)是M到
的一個嵌入。
對於時間序列{xi,i=1,2,…,n),經過延遲時間τ嵌入到m維相空間中,可以表示為:
式中
是m維相空間中的點。由定理可知,當嵌入維數m大小合適時,原動力系統的吸引子就可以在高維的重構相空間中完全展開,也就是説,此時原系統的相空間將和重構的相空間微分同胚,它們的動力學特性在定性意義上完全相同。因此可以通過對原系統進行相空間重構,通過將現有的數據納入到某種可以描述的框架下,來找出混沌吸引子中隱藏着的演化規律,進而揭示出傳統方法無法展示的運動特徵。
[1]
下一個定理提供了等距同構的若干等價條件.這些等價條件有一些重要解釋.特別地,(a)和(b)的等價性表明等距同構保內積.由於(a)藴含(d),從而若S是等距同構而(e1,......,en)是V的規範正交基,則S(關於此基)的矩陣的列是規範正交的;又因(e)藴含(a),故逆命題也成立.
[2]
定理:設S∈L(V),則下列等價:
(a)S是等距同構;
(b)對所有u,v∈V,都有(Su,Sv)=(u,v);
(c)S*S=I;
(d)若(e1,…,en)是V中的規範正交向量組,則(Se1,…,Sen)是規範正交的;
(e)V有規範正交基(e1,......,en)使得(Se1,......,Sen)是規範正交的;
(f)S*是等距同構;
g)對所有u,v∈V,都有(S*u,S*v)=(u,v);
(h)SS*=i;
(i)若(e1,…,en)是V中的規範正交向量組,則(S*e1,…S*en)是規範正交的;