複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/有界變差函數/2949749
複製
複製成功

有界變差函數

鎖定
若在區間(a，b)中，函數f(x)能夠表成Φ(x)一Ψ(x)的形狀，而Φ與Ψ都是非減有界函數，則稱f(x)在(a，b)中是有界變差的．易見兩有界變差函數的和、差與積也都是有界變差的． [1] 
中文名
有界變差函數
外文名
bounded variation
含    義
表為兩個單調增函數之差的實值
類    別
常用的函數類

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 性質

有界變差函數定義

它的另外幾種定義如下：
定義一
設區間(a，b)被點a=x0<x1<…<xn=b所劃分，若
常小於一個與劃分方法無關的常數，則稱函數在(a，b)中有界變差．這種和數的上確界稱為全變差 [1]  ．
定義二
設f是定義在區間[a,b]上的函數，考察[a,b]上的任意一組分點：a=x0<x1<…<xn=b，當分點變動時，稱上確界
為f在[a,b]上的全變差(或全變分)．並記為
．若
<+∞．則稱f為[a,b]上的有界變差函數(或囿變函數) [2]  ．
定義三
設f(x)為定義在[a,b]上的函數，任取[a,b]的分割D：a=x0<x1<…<xn=b， [3] 
令
稱
(f,D)為f(x)關於分割D的變差，若變差
(f,D)都不超過某個正常數，即存在M>0，使對一切分割D，
(f,D)≤M，
則稱f(x)為[a，b]上的有界變差函數。記
(f)=sup
(f，D)，稱
(f)為f(x)在[a，b]上的全變差或總變差。

有界變差函數性質

1.單調函數是有界變差函數．
2.有限個有界變差函數的和、差、乘積仍為有界變差函數．
3.兩個有界變差函數之商(分母不為零)仍為有界變差函數．
4.(Jordan分解定理)f為[a,b]上的有界變差函數的充要條件是f可表為兩個不減的非負函數之差．
5.（Lebesgue） 若f是[a,b]上的單調函數．則f在[a,b]上幾乎處處可微。
6.絕對連續函數必是有界變差函數． [2] 
7.若f(x)是[a,b]上的有界變差函數，則∣f(x)∣在[a,b]上必為有界變差函數；
8.設f(x)是[a,b]上的有界變差函數，且a<c<b，則f(x)在[a，c]和[c，b]上均為有界變差函數，且有
(f)=
(f)+
(f)；
9.設f(x)，g(x)都是[a,b]上有界變差函數，α、β為兩個常數，則αf(x)+βg(x)是[a,b]上的有界變差函數；
10.設f(x)，g(x)都是[a,b]上有界變差函數，則f(x)g(x)在[a,b]上亦為有界變差函數；
11.設{fn(x)}為[a,b]上的有界變差函數列，且{
(fn)}有界
=f(x)，則f(x)在[a,b]上為有界變差函數 [3]  。
推論：有界變差函數幾乎處處可微 [2]  ．
參考資料
  • 1.    （英）蒂奇馬什著，劉培傑數學工作室譯．函數論=THEORY OF FUNCTIONS：哈爾濱工業大學出版社，2014.11
  • 2.    汪林．實分析中的反例：高等教育出版社，2014.01
  • 3.    何穗，劉敏思．實變函數：華中師範大學出版社，2013.08