絕對連續函數

絕對連續函數是一類極為重要的函數，設 f(x) 是 [a,b] 上的函數，若對任給 ε>0 ，存在 δ>0 ，使得對於在 [a,b] 上任意有限個互不相交的開區間 (a₁,b₁)，(a₂,b₂),...,(a_n,b_n)，當

時，就有

則 f(x) 稱為 [a,b] 上的一個絕對連續函數，令

則 f(x) 在[a,b] 上絕對連續的充分必要條件為：當△→ 0 時，

一致收斂於 0。

絕對連續函數的名稱有維塔利 (Vitali,G.)提出，絕對連續函數的主要性質有：

1、若f(x) 與 g(x) 都是[a,b] 上的絕對連續函數，則

也是[a,b] 上的絕對連續函數.

2、若g(x) 是 [a,β] 上的絕對連續函數，a≤g(x)≤b，f(x) 在[a,b] 上滿足利普希茨條件，則 f[g(x)] 是[a,β] 上的絕對連續函數（但任意兩個絕對函數的複合函數未必絕對連續）.

3、絕對連續函數一定是有界變差函數，但有界變差函數未必是絕對連續函數。

4、若f(x) 在 [a,b] 上絕對連續，且f‘(x)=0 a.e. 於 [a,b]，則f(x) 為一常數。

5、若f(x) 在 [a,b] 上絕對連續，且f‘(x)≥0 a.e. 於 [a,b]，則f(x) 為一單調增加函數。

6、若f(x) 在[a,b] 上絕對連續，則 f(x) 具有性質 (N)，即對任何零集

仍為零集；性質(N) 對名稱由盧津 (JIyзин,H.H.）提出。

7、（巴拿赫-查列茨基定理）若 f(x) 是[a,b] 上的連續的有界變差函數，且具有性質 (N)，則 f(x) 是一絕對連續函數。

8、f(x) 在[a,b] 上絕對連續的充分必要條件為

是絕對連續函數。

9、絕對連續函數幾乎處處可微，是它的導函數的廣義原函數。 ^[1]