正線性泛函

設A為含歸一化單位元1的巴拿赫*代數。A的一個線性泛函ρ若對A中任何x均滿足ρ(x*x)≥0，則ρ為正線性泛函。 ^[2] 

等價定義為若對A中任何x≥0，有ρ(x)≥0，則ρ為正線性泛函。 ^[3] 

任何正線性泛函ρ的範數||ρ||=ρ(1)。

正線性泛函是連續映射。 ^[1] 

若正線性泛函還滿足歸一化條件ρ(1)=1，則為態。 ^[2] 

巴拿赫*代數A的正線性泛函ρ的GNS對為二元組(π,ξ)。其中π為A在希爾伯特空間上的表示，ξ為π(A)的循環向量，且對A中任意x都滿足： ^[1] 

ρ(x)=<π(x)ξ,ξ>。

任意含單位元巴拿赫*代數A的正線性泛函ρ均有GNS對(π,ξ)，ρ的任意GNS對都等價。 ^[2]