伴隨函子

設A與X為範疇。從X到A的伴隨對為三元組<F,G,φ>:X→A。其中F:X→A與G:A→X為函子，函數φ在給定X中對象x與A中對象a後給出雙射φ_x,a:A(Fx,a)=X(x,Ga)，且φ(·,·):A(F·,·)=X(·,G·)對兩個變量均自然。

則F稱為G的左伴隨函子，G稱為F的右伴隨函子。 ^[3] 

函子G:A→X的任意兩個左伴隨函子F與F'為自然同構。

函子G:A→X有左伴隨函子，當且僅當函子X(x,G·)為可表示函子。

加性函子的伴隨函子為加性函子。 ^[3] 

在數學研究中，人們往往通過不同的方法來比較所研究的數學對象，例如在範疇論中，利用同構和等價來刻劃兩個研究對象是相同和等價的，然而同構和等價都是比較強的條件，伴隨函子是用更弱的條件來研究對象之間的關係。伴隨函子的概念最先是由坎(Kan, D.M.)於1958年提出來的，此後伴隨函子理論被廣泛應用於範疇、環與模論等研究領域，正如Saunders Mac Lane宣稱的那樣：伴隨函子無處不在，現在它已成為代數學的重要概念及工具之一。 ^[2] 

給定兩個函子F：C→D與G:D→C，自然變換η:1_c→GF。F^┤G稱為伴隨對，若對任意C∈C，D∈D，f:C→GD，存在惟一的g:FC→D，使得f=G(g)η_c。即

類似的，可以定義餘單位泛態射來定義伴隨。 ^[2] 

給定兩個函子F：C→D與G:D→C，自然變換δ:FG→1_D。F^┤G稱為伴隨對，若對任意C∈C，D∈D，g:FC→D，存在惟一的f:C→GD，使得g=δ_DF(f)。即 ^[2] 

給定兩個函子F：C→D與G:D→C，兩個自然變換η:1_c→GF，δ:FG→1_D。F^┤G稱為伴隨對，若對任意C∈C，D∈D，有下面的交換圖

即δF·F_η=1F，Gδ·ηG=1_G。 ^[2] 

兩個函子F：C→D與G：D→C稱為伴隨對，若每對對象(C，D)，其中C∈C，D∈D，存在一個同構

ψ=ψ_C,D：D(FC,D)≅C(C,GD)。

注1：Hom_D(FC，D)常簡記為D(FC，D)=(FC，D)_D=(FC,D)。

注2：ψ是雙射，且在C,D處是自然的，所以Hom_D(FC,D)事實上是一個雙函子，對所有的f:C″→C,g:D→D′，有下面兩個交換圖(*) ^[2] 

伴隨函子在範疇論與表示論中有着廣泛應用，如單子餘單子、Recollement等概念都是由伴隨函子給出的，下面是關於伴隨函子的一個重要例子。設B∈_SM_R，B⊗_R-是_RM到_SM張量函子，Hom_S(B,-)是_SM到_RMHom函子ψ:Hom_S(B⊗_RA,C)→Hom_R(A,Hom_S(B,C))是同構態射，並且對任意α∈Hom(A,A′)，γ∈Hom(A,A′)，有交換圖

因此，(B⊗_R-，Hom_S(B,-))是一對伴隨函子。 ^[2] 

以下為左伴隨函子的一些例子 ^[3]