可表示函子

設D有小態射集。則函子K:D→Set的表示為對<r,ψ>，其中r為D的對象，ψ:D(r,-)

K為自然同構。r稱為表示對象，若K存在表示，則K稱為可表示函子。 ^[2] 

在同構意義下，可表示函子就是共變Hom函子D(r,-)。 ^[2] 

給定範疇𝑪以及從𝑪到集合範疇𝔖的反變函子𝐹。對𝑪中對象A，定義

，那麼

是從𝑪到𝔖的反變函子。若𝐹自然等價於

，相應的有𝔖中同構

，令

，則稱𝐹由(A，Ψ)表示，𝐹為可表示函子。

[contravariant functor]

給定範疇𝑪和𝑫以及對應F:𝑪→𝑫，如果𝑪中任意對象A對應𝑫的對象F(A)，𝑪中的任意態射f:A→B 對應D中態射F(f):F(B)→F(A)，並且滿足

，那麼F稱為從𝑪到𝑫的反變函子。 ^[1] 

[category functor]

給定範疇𝑪和𝑫，這裏𝑪是小范疇（即𝑪的對象是一個集合）。所有從𝑪到𝑫的函子及函子之間的自然變換組成函子範疇[𝑪到𝑫]。