函子

函子首先現身於代數拓撲學，其中拓撲空間的連續映射給出相應的代數對象（如基本羣、同調羣或上同調羣）的代數同態。在當代數學中，函子被用來描述各種範疇間的關係。“函子”（英文：Functor）一詞借自美國哲學家魯道夫·卡爾納普的用語。卡爾納普使用“函子”這一詞和函數之間的相關來類比謂詞和性質之間的相關。對卡爾納普而言，不同於當代範疇論的用法，函子是個語言學的詞彙。對範疇論者來説，函子則是個特別類型的函數。

令

和

是兩個範疇。一個從

到

函子F由如下信息給出 ^[1]  ：

1）將每個對象

映射至一對象

上，

2）將每個態射

映射至一態射

上，使之滿足下列條件：

3）對任何對象

，恆有

。

4）對任何態射

，恆有

。換言之，函子會保持單位態射與態射的複合。

由一範疇映射至其自身的函子稱之為“自函子”。

常函子（Constant functor）：把

中的所有對象都對應到

中的一個固定的對象

，且把

中的態射都對應到

的恆等態射

。

恆等函子（Identity functor）：

，把

中的對象和態射都對應到其自身。

遺忘函子：“遺忘”掉某些結構的函子，例如

是羣全體和羣同態構成的範疇，

是集合全體和集合間的映射構成的範疇，則

把羣對應到去掉乘法運算後的集合，把羣同態對應為映射就是一個遺忘函子。

對角函子：對角函子被定義為由

至函子範疇

的函子，將每個在

內的對象映射至此對象的常數函子上。

極限函子：對一固定的指標範疇，若每個函子

都有個極限（即若

為完全的），則極限函子

即為將每個函子映射至其極限的函子。此類函子的存在性可以由將其理解為對角函子的右伴隨函子，且引入福端伴隨函子定理來證明之。這需要一個適當版本的選擇公理。相似的説法也可應用在上極限函子（其為協變的）之中。

二元函子是函子概念在“雙變元”時的推廣。形式的定義則定義在兩個範疇的積上的函子

。函子

是一個自然的例子，它對第一個變元反變，對第二個變元協變。

1) 二元函子是有“兩個”引數的函子。同態函子即為一個例子；其第一個引數為反變的，第二個引數則為協變的。形式上來説，二元函子是一個其定義域為積範疇的函子。例子，同態函子即為

。

2) 多函子是將函子的概念廣義化至

個引數。而雙函子當然是一個

的多函子。

從函子的公理中可得出兩個重要的推論 ^[2]  ：

1)

將每個在

中的交換圖變換成中的一個交換圖；

2) 若

為

中的一個同構，則F(f)也會為

中的一個同構。

若函子

滿足

為同構當且僅當

為同構，則稱之為保守函子。

在任意範疇

上，可定義一個單位函子

，其將每個對象和態射映射至其自身。也可以將函子複合，即若F為一由

至

的函子且

為一由

至

的函子，則可組成一個由

的複合函子。函子的複合依定義是可結合的。這顯示函子可以被認為是範疇的範疇中的態射。

一個只具單一對象的小范疇等同於一個幺半羣，此一單一對象範疇的態射可被視為是幺半羣中的元素，且其在範疇中的複合則可以視為是幺半羣中的運算。此時這類範疇間的函子無非是幺半羣間的同態。在此意義下，任意範疇間的函子可被視為是幺半羣同態至多於一個對象的範疇的一種廣義化。

設D有小態射集。則函子K:D→Set的表示為對<r,ψ>，其中r為D的對象，ψ:D(r,-)

K為自然同構。r稱為表示對象，若K存在表示，則K稱為可表示函子。 ^[3] 

1)本質滿射函子：使得值域中任意對象皆同構於某個

的函子。

2)正合函子：保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中相當於保存正合序列。

3)忠實函子：使得對任意對象

，

為單射的函子。

4)完全函子：使得對任意對象

，

為滿射的函子。

5)完全忠實函子：既完全且忠實的函子稱為完全忠實函子。

是完全忠實函子的充要條件是

是範疇的等價，其中

表示

中由

的像生成的滿子範疇。

6)保守函子：使得

為同構當且僅當

為同構的函子。

7)加性函子：指預加性範疇（或加性範疇）中保存同態集（以及雙積）的阿貝爾羣結構的函子。

8)伴隨函子：

滿足下述條件時稱為一對伴隨函子：

。