正合序列

一個由某類適宜的範疇（例如阿貝爾羣、向量空間或模，詳如後述）中的對象與態射構成的序列

被稱作在

處正合，當且僅當

一般而言，該範疇中的序列

被稱作是正合的，當且僅當它在

、

、

處正合。類似定義可以推廣至沒有端點的無窮序列。

為了探討序列的正合性，範疇中必須能構造一個態射的像

與核

，並確保這兩種構造具備在阿貝爾羣、向量空間或模的情形一樣的範疇論性質。處理這類問題的框架是阿貝爾範疇，以下考慮的範疇如未説明皆為阿貝爾範疇。 ^[1] 

1、序列

正合的充要條件是

是單射。

2、序列

正合的充要條件是

是滿射。

3、對任何態射

，以下序列都是正合的：

注意：在羣的範疇中，必須要求

在

中的像是正規子羣才能考慮

，故上述正合性對一般範疇不成立。 ^[1] 

一個具下述形式的正合序列：

稱作短正合序列。

若以下任一等價條件成立，則稱短正合序列

分裂：

1、有截面（即存在

使得

）。

2、

有縮回（即存在

使得

）。

3、該短正合序列同構（在鏈復形的意義下）於

其中的箭頭是直和的典範映射。

對於羣的範疇，前兩個條件不一定藴含第三個，它們只能保證

可以表為

與

的半直積；例如我們可考慮羣同態

其中

是3次對稱羣。

由

給出，它的像是交代羣

，商為

；但

無法分解成

。

正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

設

其中

，這就給出了一個短正合序列

一般而言，設

為鏈復形，我們同樣定義

；此時鏈復形的正合性等價於所有短鏈

的正合性。

給定一個短正合序列

有時也稱

為

經由

的擴張。 ^[2] 

若有鏈復形的短正合序列：

反覆運用蛇引理，可以導出正合序列：

對上鍊復形的上同調亦同，此時連接同態的方向是

。這類序列稱作長正合序列，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調羣和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。 ^[2] 

阿貝爾範疇的短正合序列為如下序列

其中

為

的核，

為

的餘核。

阿貝爾範疇的長正合序列為如下序列

其中

，

為單態射，

為滿態射，且對每個n，

為

的核，

為

的餘核。 ^[3]