蛇引理

考慮一阿貝爾範疇

（例如阿貝爾羣或模的範疇）中的交換圖（如圖1）：

使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫

的核與上核的正合序列：

此外，若

是單射，則

亦然；若

'是滿射，則

亦然。

為了理解蛇引理的由來，觀察圖2：

並注意到：引理給出的正合序列可在圖2中畫成倒S狀的蛇形。 ^[2] 

核間的同態與上核間的同態很容易構造，它們由圖2的交換性自然導出，正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連接同態

及序列在該處的正合性。

對於模範疇的情形，同態

可如是構造：

選定

，並視之為

的元素；由於

是滿射，存在

滿足

。由圖2的交換性，我們有

（因為

）

於是

。由於底部的橫列正合，存在

使得

。置

。今須驗證

是明確定義的，即

不依賴

之選取；此外尚須驗證它是個同態，及序列的正合性。

一旦完成以上幾點驗證，即證明了此引理在模範疇的情形。對一般情形，可利用核與上核的泛性；此外也能使用Mitchell嵌入定理，此定理斷言任一阿貝爾範疇都能遷入某個環

的

-模範疇。

在應用上，我們常常需要長正合列的“函子性”或曰“自然性”（就自然變換意義言之）；各種建構的函子性也是同調代數的基本哲學。此函子性可由蛇引理的函子性導出。 ^[3] 

設交換圖

的橫列均為正合，則可利用蛇引理兩次，一次在“前”一次在“後”，產生兩條長正合序列；它們經由以下交換圖相連繫：