半直積

在數學中，特別是叫做羣論的抽象代數領域中，半直積(semidirect product)是從其中一個是正規子羣的兩個子羣形成一個羣的特定方法。半直積是直積的推廣。

設G與H為羣，θ:H→Aut(G)為羣同態。定義

為G與H的笛卡爾積，且配有乘法如下

(g,h)(g’,h’)=(gθ_h(g’),hh’)

則

為羣，稱為G與H的半直積。 ^[3] 

一些等價的定義

令G為羣，N為G的一個正規子羣，並且H是G的一個子羣。下列命題等價:

1）G=NH且N∩H={e} (其中e是G的單位元)； ^[4] 

2）G=HN且N∩H={e} G的每個元素可以寫作唯一的N的一個元素和H的一個元素的積；

3）G的每個元素可以寫作唯一的H的一個元素和N的一個元素的積；

4）自然的嵌入H→G, 和自然的投影G→G/N的複合，給出一個在H和G/N之間的同構存在同態G→H，它的像是H本身而其核是N。

如果這些命題中的一個(從而所有)成立，則稱G是一個N和H的半直積，或者説G在N上“分裂(splits)”，並寫作G = N⋊H。

若G是正規子羣N和子羣H的半直積，而且N和H都是有限的，則G的階等於N和H的階的積。

注意，和直積的情況不同，半直積通常不是唯一的；如果G和G' 是兩個羣，都包含N為正規子羣，並且都包含H為子羣，而且二者都是N和H的半直積，則未必G和G' 是同構的。 ^[2] 

若G是一個N和H的半直積，則映射φ : H → Aut(N) (其中Aut(N)表示N的所有自同構組成的羣)(定義為φ(h)(n) = hnh 對於所有H中的h和N中的n)是一個羣同態。實際上N, H 和 φ 一起確定了G 最多相差一個同構，如下面所證。

給定任意兩個羣N和H（不必是某個羣的子羣）和一個羣同態φ : H → Aut(N)，我們定義一個新羣N ⋉φ H，N和H相對於φ的半直積，如下: 基礎的集合是集合直積N × H，而羣運算*給定為

(n1, h1) * (n2, h2) = (n1 φ(h1)(n2), h1 h2) 對於所有n1, N中的n2 和H中的h1, h2。這確實定義了一個羣；其幺元為(eN, eH)而元素(n, h)的逆為(φ(h)(n), h). N × {eH}是同構於N的正規子羣, {eN} × H是同胚於H的子羣，而該羣是這兩個子羣在上面給出的意義下的半直積。

反過來假設我們有上述定義的內半直積，也就是説，一個羣G有一個正規子羣N,一個子羣H，並且使得G的每個元素g 可以唯一的寫成g=nh的形式，其中n在N中而h在H中。令φ : H→Aut(N)為如下同態

φ(h)(n)=hnh. 則G同構於外半直積N ⋉φ H; 該同構把乘積nh映到2元組(n,h)。在G中,我們有如下規則

(n1h1)(n2h2) = n1(h1n2h1)(h1h2) 而這是上述外半直積的定義的深層原因，也是一個記住它的方便辦法。

羣的分裂引理（splitting lemma）的一個版本稱羣G同構於兩個羣N和H的半直積當且僅當存在短正合序列

和一個羣同態r : H → G 使得v o r = idH, H上的恆等映射。在這種情況, φ : H → Aut(N)給出如下

φ(h)(n) = u(r(h)u(n)r(h)).

有 2n個元素的二面體羣Dn 同構於循環羣Cn 和C2的半直積。這裏，C2的非單位元作用於Cn，將元素變成其逆；這是一個自同構因為Cn是交換羣。

平面的剛體運動羣(映射f : R → R 使得x和y之間的歐氏距離等於f(x) 和f(y)之間的距離對於所有在R中的x和y成立)同構於交換羣R (描述平移)和正交 2×2矩陣的羣O(2)(描述轉動和反射)的半直積。每個正交矩陣通過矩陣乘法作用在R上，並且是一個自同構。

所有正交n×n矩陣的羣O(n)(直觀的講，所有n維空間的所有轉動和反射的集合)同構於羣SO(n) (所有行列式值為1的正交矩陣，直觀的講n維空間的轉動的集合)和C2的準直積。如果我們將C2表示為矩陣{I, R}的乘法羣，其中R是n維空間的翻轉(也就是行列式為-1的正交對角矩陣)，則φ : C2 → Aut(SO(n)) 由φ(H)(N) = HNH^(-1)對所有 在C2中的H 和SO(n)中的N給出。

假設G是一個正規子羣N和子羣H的半直積。若H也在G中正規，或者説，若存在一個同態G → N是N上的恆等映射，則G是N和H的直積。

兩個羣N和H的直積可以視為N和H相對於φ(h) = idN (對於所有H中的h)的外半直積。

注意在直積中，因子的次序不重要，因為N × H同構於H × N。這在半直積中不成立，因為兩個因子的角色不同。

半直積的構造可以推得更廣。在環理論中有一個版本，環的交叉積（crossed product of rings）。一旦構造了羣的一個半直積的羣環，這可以很自然的看出。還有李代數的半直和。給定拓撲空間上的一個羣作用，存在一個相應的交叉積，它通常非交換，即使羣是可交換的。這樣的環在羣作用的軌道空間有重要作用，特別是當該空間不能用常規的拓撲技術處理的時候 - 例如在阿蘭·科納的工作中（細節請參見非交換幾何）。 ^[2] 

在範疇論中也有推廣。它們表明瞭如何從“指標範疇(indexed categories)”構造“纖維範疇(fibred categories)”。這是外準直積的抽象形式。

圈積(Wreath product)