正合函子

設

為阿貝爾範疇，

為加法函子。若對每個正合序列

取

後得到的序列

仍為正合序列，則稱

為正合函子。

由於正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列

，其像截去尾端零對象後

為正合序列，則稱左正合函子；類似地，若

為正合序列，則稱

是右正合函子。正合性等價於左正合性+右正合性。 ^[1] 

考慮一個函子

。

若

裏存在任意的有限射影極限，且與有限射影極限交換（即：

），則稱

為左正合。

若

裏存在任意的有限歸納極限，且

與有限歸納極限交換（即：

），則稱

為右正合。

若上述條件同時被滿足，則稱

為正合。

在阿貝爾範疇中，由於任意有限射影（或歸納）極限可以由核（或上核）與有限積（或上積）生成，此時的定義遂迴歸到正合序列的定義。 ^[2] 

根據極限的泛性質，

函子無論對哪個變數都是左正合的，這是左正合函子的基本例子。

設

是一對伴隨函子。若

存在任意有限歸納極限，則

右正合；若存在任意有限射影極限，

左正合。此法可建立許多函子的正合性。

設

為拓撲空間，阿貝爾羣數學範疇上的整體截面函子

是左正合函子。

設

為環，

為右

-模，則左

-模範疇上的張量積函子

是右正合函子。

設

為兩個阿貝爾範疇，考慮函子範疇，固定一對象

，對

的“求值”是正合函子。 ^[3]