鏈復形

鏈復形(chain complex)是一種抽象的復形。

設{C_q}_q∈ℤ是一族阿貝爾羣與滿足∂_q∘∂_q+1=0的一族羣同態{∂_q:C_q→C_q-1}_q∈ℤ，則由它們組成的C={C_q,∂_q}_q∈ℤ稱為一個鏈復形。同態∂_q稱為鏈復形的邊緣算子。

設R為交換環，則鏈復形X與Y之間的張量積定義為(X⨂Y)_n=∑_i+j=nX_i⨂Y_j。

鏈復形的張量積的微分定義為d(x⨂y)=dx⨂y+(-1)^deg(x)x⨂dy。 ^[4] 

羣C_q及其子羣：

Z_q(C)=ker∂_q，　B_q(C)=Im∂_q+1

分別稱為鏈復形C的q維鏈羣及q維閉鏈羣，q維邊緣鏈羣，商羣H_q(C)=Z_q(C)/B_q(C) (q∈Z)稱為鏈復形C的q維同調羣。類似地可定義和討論與鏈復形有關的鏈映射、鏈同倫以及鏈復形的同調列等同調論。

從單純同調羣和奇異同調羣的理論可看出這些對象有許多共同特徵。比如它們都有一系列交換羣，以及滿足∂_q°∂_q+1=0的一系列邊緣同態算子。為了深入研究同調論，有必要抽象出這些代數的概念。

上鍊復形是一種特殊的模同態序列。設有A-同態序列：

這個序列的兩個方向都是無限的，若對每個整數n皆有dd=0，則稱序列(1)為環A上的上覆形.把模同態d：X→X稱為上邊緣同態或上邊緣算子。為簡便起見，用(X，d)代表復形序列(1).如果記X_n=X，d_n=d，則序列(1)可以表示為：

且d_nd_n+1=0，把序列(2)稱為環A上的復形或鏈，模同態d_n稱為邊緣同態或邊緣算子。

設E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射。f是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態， 而並不因此就是幺半羣的同態)。

設G為乘法羣，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法羣Z到G中的映射f是羣的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法羣的同態，且為乘法麼半羣的同態。這就是説，對A的任一元素偶(x，y)，有： ^[2] 

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

鏈羣是建立同調羣的重要概念。設K是一個n維復形，它的全體q維單形的集合記為{s^q_i|i=1，2，…，α_q，q=0，1，…，n}。設sq_i是q維單形s^q_i任意選定了一個定向後形成的有向單形，當q=0時，記s⁰_i=+〈a_i〉，則這樣的有向單形組：

{s^q_i|i=1，2，…，α_q，q=0，1，2，…，n}

稱為復形K的有向單形的一個基本組。對於整數加羣Z中的整數g_i，約定g_is^q_i=(-g_i)(-s^q_i)，則以整數為係數的任意一個線性組合：

稱為K的一個q維鏈；當其係數全為零時，這個鏈用0表示。若另有q維鏈：

定義它們的和為

則對這樣的加法，K的全體q維鍊形成一個自由交換羣，稱為K的q維鏈羣，記為C_q(K;Z)，或簡記為C_q(K)。基本組{s^q_i}為這鏈羣的一組基。為了方便也可將q推廣到所有整數，當q<0或q>n時，規定C_q(K)=0。 ^[3]