邊緣鏈羣

若鏈復形K的一個q維鏈x_q是K的一個(q+1)維鏈x_q+1的邊緣，即x_q=

，則x_q稱為q維邊緣鏈。所有K的q維邊緣鏈的集合是C_q+1(K)在邊緣同態

下的像 ^[1] 

，稱為復形K的q維邊緣鏈羣，記為

或簡記為B_q(K)，這裏

為整數加羣。B_q(K)是鏈羣C_q(K)的子羣，由邊緣同態性質得出，B_q(K)也是閉鏈羣Z_q(K)的子羣，即：

根據羣同態定理，由

可得滿同態

，其核為Z_q(K)，再由同構定理得：

設G是一個非空集合，G上有一個叫做乘法的代數運算，即有一個G×G到G的映射，對a，b∈G，(a，b) 在這個映射之下的象記作ab，如果以下條件被滿足，則稱G是一個羣： (1) 對於任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)對任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。設G是一個羣，存在唯一的元素e∈G使得對任意的a∈G，ea=ae=a，e稱為G的單位元。對任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a稱為a的逆元。一個羣的元素個數如果是有限的，則稱這個羣是有限羣，否則，這個羣稱為無限羣。有限羣的元素個數稱為這個羣的階。對於羣G的元素a，使得a=e的最小正整數m稱為a的階，這裏a表示m個a相乘的積，如果不存在這樣的正整數m，則稱a是無限階的。

設G₁，G₂是兩個羣，是G₁到G₂的一個映射，如果對任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，則稱φ是羣G₁到G₂的同態。羣G₁到G₂的同態φ如果是單射(滿射)，則稱φ是單同態(滿同態)，如果φ還是個一一映射，則稱是一個同構，而且稱羣G₁與G₂是同構的，記作G₁≌G₂。如果一個非空集合A到自身的一些一一映射在映射的複合運算下作成一個羣，這種羣稱為變換羣。凱萊定理指出，每個羣都與一個變換羣同構。有限集合到自身的一一映射稱為置換，n個元素的集合的全體置換做成的羣稱為n次對稱羣，記作S_n。設G是一個羣，a∈G，規定對於正整數m，(a-1)=a，a=e，則對任何整數n，a有意義。設G是一個羣，如果存在a∈G，使得G={a|n為整數}，則稱G為循環羣，記作G=(a)，a稱為G的一個生成元。設G=(a)，如果a的階無限，則G與全體整數在加法運算之下做成的羣同構。如果a的階為正整數n，則G與模n的剩餘類在加法運算之下做成的羣同構。設G是一個羣，H是G的子集，如果H對於G的運算也做成一個羣，則稱H是G的一個子羣。設H是羣G的一個子羣，對任意的a∈G，定義aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分別稱為子羣H的一個左陪集和右陪集。若G是有限羣，則H的左、右陪集的個數都等於|G|/|H|。從而有限羣G中每個元素的階都是G的階的因子。設H是羣G的子羣，如果對任意的a∈G，aH=Ha，則稱H是G的正規子羣，或不變子羣。設H是G的一個正規子羣，H的左陪集全體記作G/H，對任意的aH，bH ∈ G/H，定義 (aH) (bH) = (ab) H，則G/H也做成一個羣，這個羣稱為G的一個商羣，映射π： G→G/H，a→aH，是一個滿同態。設φ是羣G₁到羣G₂的同態，Kerφ= {a∈G₁|φ(a)=e}稱為φ的核。φ(G₁)={φ(a)|a∈G1} 稱為的象，Ker是G₁的正規子羣，(G₁)是G₂的子羣，並且(G₁)≌G₁/Kerφ。

鏈羣(chain group )是建立同調羣的重要概念。設K是一個n維復形，它的全體q維單形的集合記為{_i|i=1，2，…，α_q，q=0，1，…，n}。設s_i是q維單形_i任意選定了一個定向後形成的有向單形，當q=0時，記s_i=+〈a_i〉，則這樣的有向單形組：

稱為復形K的有向單形的一個基本組。對於整數加羣Z中的整數g_i，約定g_is_i=(-g_i)(-s_i)，則以整數為係數的任意一個線性組合：

稱為K的一個q維鏈；當其係數全為零時，這個鏈用0表示。若另有q維鏈：

定義它們的和為：

則對這樣的加法，K的全體q維鍊形成一個自由交換羣，稱為K的q維鏈羣，記為C_q(K;Z)，或簡記為C_q(K)。基本組{s_i}為這鏈羣的一組基。為了方便也可將q推廣到所有整數，當q<0或q>n時，規定C_q(K)=0。 ^[2] 

子羣是羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G.若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元羣G至少有兩個子羣，G自身以及由單位元e作成的單位元羣{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子羣。不是平凡子羣的子羣稱為非平凡子羣。羣G的非空子集H為G的子羣的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子羣。

設E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射.f是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態， 而並不因此就是幺半羣的同態)。

設G為乘法羣，而a為G的元素. 由關係f(n)=an所定義的從加法羣Z到G中的映射f是羣的同態.

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法羣的同態，且為乘法麼半羣的同態. 這就是説，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元.

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。 ^[3]