加性範疇

一個範疇C稱為加性範疇。若它滿足下述條件：

1.對任何A,B∈C，態射集Hom(A,B)為一個交換羣，且態射覆合滿足左、右分配律，即，若σ,σ′∈Hom(A,B)，τ,τ′∈Hom(B,C)，則(τ+τ′)σ=τσ+τ′σ，τ(σ+σ′)=τσ+τσ′。即C為Ab-範疇。

2.C有零對象。

3.對任何A,B∈C，A與B的雙積必存在。

定義中的條件3可換為

3′.任何有限個A₁，A₂，…，A_n∈C，雙積

必存在。 ^[4] 

阿貝爾羣範疇Ab。

分次R模範疇

。 ^[5] 

加性範疇的對偶範疇仍為加性範疇；加性範疇中態射f為單態射的充分必要條件是kerf=0，f為滿態射的充分必要條件是coker f=0。

範疇是範疇論的基本概念之一。稱C是一個範疇，是指C滿足下述六點：

1.C有一個對象類{A，B，C，…}(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C.

2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B.

3.對給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成.

4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D.

5.態射合成滿足結合律.

6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素ε_A使對σ∈Hom(A，B)恆有σε_A=σ=ε_Bσ，稱ε_A為A的恆等態射(ε_B為B的恆等態射).

例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得羣範疇Group，阿貝爾羣範疇AG，環R上的左R模範疇_RM等。以自然數為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φ_ab，ab時定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個範疇。一般地，對每個擬序集都可仿此定義範疇。

阿貝爾範疇是一種特殊的加性範疇。因此具有更豐富的性質。一個加性範疇C稱C為阿貝爾範疇。若再滿足下述三條件：

1.任何態射f都有核ker(f)與餘核coker(f).

2.任何單(滿)態射都是其餘核(核)的核(餘核).

3.任何態射σ都可分解為一個單態射η與一個滿態射π的合成σ=ηπ(稱為σ的標準分解式).

阿貝爾羣範疇、環R上的R模範疇都是阿貝爾範疇。阿貝爾範疇具有加性範疇的一切性質。阿貝爾範疇的對偶範疇仍為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇中既單且滿的態射是單位態射。阿貝爾範疇在同調代數及代數幾何中都是最常用的一類範疇。

阿貝爾羣亦稱交換羣。一種重要的羣類。對於羣G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若羣G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾羣。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換羣，所以通常稱這類羣為阿貝爾羣。交換羣的運算常用加法來表示，此時羣的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換羣稱為加法羣或加羣。 ^[2] 

態射是範疇論的基本概念之一。通常可看成是同態與映射的推廣。

設E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有

設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射。f是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態， 而並不因此就是幺半羣的同態)。

設G為乘法羣，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法羣Z到G中的映射f是羣的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法羣的同態，且為乘法麼半羣的同態. 這就是説，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數;使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態.設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數). 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態.

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

映射亦稱函數。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY.f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，當且僅當G(x，y)成立.可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變量。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變量。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。對於BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。 ^[3]