複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/零對象/18908822
複製
複製成功

零對象

鎖定
零對象(zero object)是一個特殊的對象，它在範疇論中起着特別重要的作用，一個範疇中同時為始對象與終對象的對象稱為零對象。一般地，一個範疇的零對象(始對象、終對象)未必存在，但對一些常用範疇，如預加性範疇(因此對加性範疇、阿貝爾範疇)是有零對象的，若一個範疇的零對象存在，則在等價意義下是惟一的，例如，零羣0為阿貝爾範疇的惟一零對象 [1]  。
中文名
零對象
外文名
zero object
所屬學科
數學（範疇論）
特    點
同時為始對象與終對象的對象
相關概念
始對象，終對象，範疇等

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 相關定理

零對象定義

設
是一個範疇。
1) 如果
滿足：對於任意的
恰由一個元素組成，則稱A為
中的一個初始對象（始對象）；
2) 如果對於任意的
恰由一個元素組成，則稱A為
中的一個末端對象（終對象）；
3) 如果A既是
中的初始對象，又是末端對象，則稱A為
的一個零對象。
如果
有零對象，則稱
為具有零對象的範疇。
設
為具有零對象0的一個範疇，X和Y是
中任意兩對象，則有唯一的態射
和
於是，有複合態射
即
態射
稱為零態射，記為
。
例1 在
中
是一個初始對象；任一單元素集是一個末端對象；但無零對象。
例2 1)平凡(即一個元素的)BCK-代數是
中的一個零對象；
2)平凡
-代數是
中的一個零對象；
3)平凡BCH-代數是
中的一個零對象；
4)平凡(2，0)型代數是
中的一個零對象；
5)平凡羣是
中的一個零對象。
例3 在
中，零態射
正是通常的零同態映射。
在
及
中都可得到此類似結果，這正是將
稱為零態射的一個原因 [2]  。

零對象相關定理

下面介紹關於零對象和零態射的兩個簡單結果。
定理1 在一個範疇
中，一切初始對象是同構的，一切末端對象是同構的；如果
有零對象，則一切零對象是同構的。
定理2設
是具有零對象0的一個範疇，則對於
中的任何態射
和
，有
且
圖1 圖1
證明：1)證(1)中第一式。由圖1，其中
和
分別是
和
中唯一的態射，且
，顯然，
。從而，
2) (1)中第二式可類似地證明 [2]  。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會 ．數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002
  • 2.    胡慶平，李丹．泛代數：華中理工大學出版社，1993.02