加性函子

加性函子(additive functor)是範疇論與同調代數中常用的一類函子，即保持態射加法的函子，它只對加性範疇才有意義。設F為加性範疇C到加性範疇C′的函子，若對任意的A，B∈C及任意的f，g∈Hom_C(A，B)，恆有F(f+g)=F(f)+F(g)，則稱F為加性函子。事實上，它是加法阿貝爾羣HomC加性函子(A，B)到加法阿貝爾羣HomC′(F(A)，F(B))的羣同態(注意加性範疇中的任兩對象間的態射集都是加法阿貝爾羣)。加性函子可用它的特徵性質——“保持有限個對象的積(和)”來刻畫。對偶地可定義加性反變函子。 ^[1] 

函子是範疇間的一類特殊映射。有些問題中需研究兩個範疇間的聯繫或通過這種聯繫由一個範疇的性質來推斷另一範疇的性質，這就引出函子的概念。函子可看成範疇間的變換或同態，在範疇論中起着重要作用。若C，C′為兩個範疇，F：C→C′使：

1.C的對象都變成C′的對象，即A∈C，F(A)∈C′；

2.σ∈Hom_C(A，B)，σ都被F變成：

F(σ)∈Hom_C′(F(A)，F(B))；

3.F(στ)=F(σ)F(τ)對C中可合成態射σ，τ成立；

4.F(ε_A)=ε_F(A)，其中ε表恆等態射；

則稱F為C到C′的一個共變函子(亦稱協變函子).若上述條件1，4不變而條件2，3分別改為：

2′.σ∈Hom_C(A，B)，有：

F(σ)∈Hom_C′(F(B)，F(A))；

3′. F(στ)=F(τ)F(σ)；

則稱為C到C′的一個反變函子(亦稱逆變函子)。共變函子與反變函子又統稱為函子。但有時也將共變函子簡稱函子。

加性範疇亦稱加法範疇。一種常用範疇。一個範疇C稱為加性範疇。若它滿足下述條件：

1.C有零對象.

2.對任何A，B∈C，Hom(A，B)為一個加法阿貝爾羣。

3.態射合成滿足左、右分配律，即，若σ，σ′∈Hom(A，B)，τ，τ′∈Hom(B，C)，則

(τ+τ′)σ=τσ+τ′σ，　τ(σ+σ′)=τσ+τσ′.

4.任何有限個A₁，A₂，…，A_n∈C，上積

必存在，其中條件4可換為：

4′.對任何A，B∈C，上積AB必存在。

加性範疇最典型的例子是阿貝爾羣範疇AG。在加性範疇中有限個對象必有積；加性範疇的對偶範疇仍為加性範疇；加性範疇中態射f為單態射的充分必要條件是kerf=0，f為滿態射的充分必要條件是coker f=0。

代數學的一個重要分支。數學的各個領域都有各自的研究對象。例如，集合論研究集合與映射；線性代數研究線性空間與線性映射；羣論研究羣與羣同態；拓撲學研究拓撲空間與連續映射。在20世紀中期，數學家們認為有必要將各個領域中的研究對象各自合在一起成為一個整體，使之成為一種數學系統，這就是範疇思想。於是，所有的集合與映射組成集合範疇；所有的羣與羣同態組成羣範疇。在各個範疇之間往往存在着內在聯繫與變換。例如，一個羣模去其換位子羣的商羣(稱為交換化)得到一個交換羣，從而交換化成為羣範疇到交換羣範疇的一個變換，且這個變換保持着羣同態及其合成。事實上，這就是函子的思想。在域F上的線性空間範疇中，任一線性空間L必有惟一的對偶空間L=Hom_F(L，F)，“*”可看成這個線性空間範疇到自身的一個變換。儘管當L為有限維時L與L是同構的(記這個同構為τ：L→L)，但這個同構不是“自然”的。即，若L₁與L₂間有一個同構α：L₁→L₂，“*”誘導出L₂到L₁的一個同構為α，但對L₁中的元素x來説，τα(x)一般地並不等於ατ(x)。這就引起“自然性”的研究。艾倫伯格(Eilenberg，S.)與麥克萊恩(MacLane，S.)於1945年發表的論文《自然等價的一般理論》為範疇論的建立作出了奠基性的工作。

在某種意義上來説，範疇論提煉了數學(甚至其他學科)各分支的共性，是比集合論更高一個層次的數學公共語言與工具。它使數學各個領域的研究通過箭頭圖做了一致化與簡單化的處理，更加顯示其本質上的東西，同時使許多數學系統的性質通過圖的泛性質得到了深刻的刻畫。戈德門特(Godement，R.)於1958年將範疇論應用到拓撲學，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)於1958年將範疇論應用到微分幾何，格羅騰迪克(Grothendieck，A.)與迪厄多內(Dieudonné，J.)於1960年將範疇論應用到代數幾何。現在，範疇論在上述學科及同調代數、代數K理論、模論、環論等學科中都得到了成功的應用.應用範疇論時，關鍵是先搞清研究問題以什麼作對象，以什麼作態射。研究不同範疇之間的關係時，關鍵在於找到適當的函子。範疇論的核心是函子理論。艾倫伯格與麥克萊恩為了搞清某些同構(等價)的“自然”變換之精確含義，於1945年引入範疇與函子的概念去定義自然變換。現在，範疇論已滲透到現代數學的各個領域(甚至已應用到計算機科學等)，成為現代數學的基礎。 ^[2] 

代數學的一個重要分支，主要研究在代數對象的各種範疇(如給定環上的模、層等)上的導出函子。同調代數源於代數拓撲學，在20世紀40年代發展起來。最早出現的是羣的上同調和同調，這是圍繞着解決赫維茨(波蘭代數拓撲學家)問題而引出的。這個問題的解決還導致波蘭一美國數學家艾倫伯格和美國數學家麥克萊恩在1945年引進了羣的上同調羣。與此同時，結合代數的上同調羣，李代數的上同調理論也都被引進。這些理論於1956年為H.嘉當和艾倫伯格用範疇的語言統一起來，形成代數學的一個獨立分支。同調代數的語言，具有自然、清晰地表達信息的優越性，已被應用於代數拓撲基礎的公理化表述。後來，這種語言已在很多領域裏被採用，甚至包括那些尚未使用同調方法的領域。同調代數的方法已被廣泛地應用到數學的各不同分支上，如泛函分析、單複變函數論、微分方程等，代數學的一些分支，如代數K理論、代數幾何學和代數數論等，更不可缺少同調代數的方法。 ^[3]