韋德伯恩定理

除環（division ring），又譯反稱域（skew field）、體，是如下定義的一個環：

至少有一個非零元素，這些非零元素稱為單位(Unit)

非零元素都存在逆元素（左逆元素與右逆元素）

它和域（field）的分別在於除環不必要符合交換律。所有域都是除環。不符合交換律的除環（斜體），例子有四元數。

Wedderburn定理：有限體必為域。 ^[1] 

證明：

設K為有限體，

。

則Z是有限域。令|z|=素數q，則K是q元域Z上的有限維向量空間。設維數是n，則

.

對每個元素

，令N(a)={x∈K | ax=xa}，這顯然是K的子體並且包含Z. 因此N(a)也是Z上的有限維向量空間，從而

，n(a)是與a有關的正整數。由於K*=K-{0}為

階乘法羣，而N(a)*=N(a)-{0}是K*的

階子羣，因此

|

. 從而n(a) | n.

將乘法羣K*的元素分成共軛類。與a∈K*共軛的元素個數為[K*:N(a)*]=

，從而有等式(*)

等式(*)的右邊的q-1對應Z*中q-1個元素，這q-1個元素自成共軛類。其餘元素a的共軛類中元素均多於1個。即對應N(a)≠n. 下面證明n>1時(*)不成立。使用分圓多項式

由於

從而由Mobius變換 ^[2]  （取離散對數化為求和）知

，其中

是Mobius數論函數。於是

，其中f,g均為Z[x]中首1多項式。由於

∈C[x]，故在C[x]中g(x)|f(x)，可知在Z[x]中g(x)|f(x).

是Z[x]中的首1多項式。

對於n的每個正因子d，如果d|n, d<n，則

的每個根均是

的根，但不是

的根，從而都是多項式

的根。因此

整除

。於是

整除

，結合(*)式，得到

整除(q-1)。

但是由定義，

. 當n≥2時，

. 於是

>

≥q-1，與

整除(p-1)矛盾。故必有n=1.

於是|K|=|Z|，即K=Z，K為域。